Límite exponencial de la norma de la matriz exponencial (de la EDO lineal)

Question

Consideremos una EDO lineal: $\dot{x} = A x$ donde $A$ es Hurwitz, es decir, todos sus valores propios tienen partes reales negativas. Por tanto, el sistema es exponencialmente estable. Sabemos que existen números positivos $\beta$ y $\alpha$ tal que $\| e^{A t} \| \leq \beta e^{-\alpha t}$ para todos $t$ . Veo que este resultado se utiliza en muchos análisis.

Mi pregunta es cómo calcular (prácticamente) estos valores. En particular, si elijo $\alpha$ para que $ -\alpha > \max_i \Re(\lambda_i)$ , donde $\lambda_i$ son los valores propios de $A$ entonces cómo calcular un valor ajustado para $\beta$ ?

Answer 1

Poner $A$ en la forma canónica de Jordan: $A = U J U^{-1}$ . Entonces $e^{At} = U e^{Jt} U^{-1}$ así que $\|e^{At}\| \le \|U\| \|U^{-1}\| \|e^{Jt}\|$ . De los valores propios con mayor parte real (digamos $r = \max_i \Re(\lambda_i)$ ), tomar uno con el mayor bloque de Jordan (digamos de tamaño $m$ ). Entonces para $t \ge 0$ , $\|e^{Jt}\| \le e^{rt} \sum_{k=0}^m t^k/k!$ .

EDIT: Esto no era del todo correcto. Es cierto para un tamaño suficientemente grande $t$ . Pero en general, hay que decir $$ \|e^{Jt}\| \le \max_i e^{r_i t} \sum_{k=0}^{m_i} t^k/k!$$ donde el $i$ El bloque Jordan tiene el tamaño $m_i$ y el valor propio $\lambda_i$ con $r_i = \Re(\lambda_i)$ .

Answer 2

Tengo el mismo problema. Lo que puedo hacer es obtener $\alpha $ y $\beta$ pero no estoy seguro de que sus valores, especialmente el de $\beta$ está apretado o no.

Por el momento mi demostración sólo se refiere a las matrices semi-simples (pero creo que se puede extender fácilmente al caso general utilizando la idea de esta respuesta ) y la norma 2 inducida de las matrices (nótese la equivalencia en normas). Y es fácil demostrar que $$ \begin{align*} \left\Vert e^{At}\right\Vert _{2} & =\left\Vert e^{T^{-1}JtT}\right\Vert _{2}\\ & =\left\Vert T^{-1}e^{Jt}T\right\Vert _{2}\\ & \leq\left\Vert T^{-1}\right\Vert _{2}\left\Vert T\right\Vert _{2}\left\Vert e^{Jt}\right\Vert _{2}\\ & =\left\Vert T^{-1}\right\Vert _{2}\left\Vert T\right\Vert _{2}e^{\max_{i}\mathfrak{R}\left(\lambda_{i}\left(A\right)\right)t}\\ & \triangleq\beta e^{-\alpha t} \end{align*} $$ donde $$ A=T^{-1}JT $$

Es fácil ver que en este escenario $ \alpha=-\max_{i}\mathfrak{R}\left(\lambda_{i}\left(A\right)\right) $ está apretado, pero como he comprobado $\beta=\left\Vert T^{-1}\right\Vert _{2}\left\Vert T\right\Vert _{2}$ puede estar muy lejos.

Hace años que se publicó esta pregunta, no sé si has encontrado una respuesta mejor @Truong.