En la geometría algebraica conmutativa, el operador diferencial conmuta con la localización. Me pregunto si hay alguien que considere el operador diferencial en la geometría no conmutativa. Por ejemplo, un operador diferencial en un anillo no conmutativo.
Me pregunto si todavía se puede obtener la proposición de que el operador diferencial conmuta con las localizaciones.
¿Creo que puede haber nociones correctas para el módulo D no conmutativo?
Consulte el documento arXiv:0710.3392 - se habla de dicha generalización.
El artículo de Ginzburg citado anteriormente tiene una configuración específica que está relacionada con los ejemplos como las "álgebras preproyectivas" relacionadas con los quivers. Hay una receta que adjunta un álgebra a un álgebra no conmutativa mediante generadores y relaciones que recuerdan al álgebra de Weyl. Esta receta es local no sólo bajo localización plana, sino incluso bajo mapas establemente planos. Yuri Berest ha estudiado estos aspectos con la esperanza de globalizar esa definición a las situaciones no afines.
La definición habitual de Grothendieck puede funcionar en algunos casos no conmutativos, por ejemplo, posiblemente cuando las únicas variables no conmutativas son nilpotentes e iguales. No sé a qué definición de Kapranov se refiere Oren en su comentario, pero creo que apunta a casos similares relacionados con engrosamientos nilpotentes. Ya para los grupos cuánticos esto no es suficiente.
Lunts y Rosenberg han tratado de encontrar una definición que se ajuste a la imagen geométrica de Grothendieck: se trata de resoluciones de la diagonal. Esto se ha estudiado en dos de sus preprints del Max Planck Bonn, en un marco categórico muy abstracto, y los resultados son globales en el lenguaje de las categorías de gavillas cuasicoherentes sobre esquemas no conmutativos, por así decirlo. A continuación, escribieron otros dos artículos sobre el mismo tema con recetas realistas en el caso de los anillos, los módulos y el caso graduado. Estos operadores diferenciales corresponden a filtraciones que recuerdan el caso de Grothendieck de la filtración por orden, pero siendo corregidos en un detalle sutil improtante. Su propiedad básica es el comportamiento estándar bajo funtores de localización plana como sugieres. También hay un artículo en arxiv de Tomasz Maszczyk que utiliza una variante de la geometría algebraica nc basada en bimódulos y categorías monoidales, y rederiva la misma definición del anillo de operadores diferenciales regulares que Lunts y Rosenberg, con una visión geométrica diferente basada en la dualidad entre los infinitesimales y los operadores diferenciales.
Para las referencias mira la página de nlab sobre operadores diferenciales en geometría nc que acabo de empezar a escribir
nlab:operador diferencial regular en geometría no conmutativa
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