¿Qué es " $\exists x \in S , \phi(x)$ ¿"abreviatura de"?

Question

Hace poco me enteré de que " $\forall x \in S, \phi(x)$ " es la abreviatura de " $\forall x \big(x \in S \rightarrow \phi(x)\big)$ ". ¿Se aplica la misma idea para la abreviatura " $\exists x \in S, \phi(x)$ "?

es decir, es " $\exists x \in S, \phi(x)$ ", lógicamente equivalente a " $\exists x \big(x \in S \rightarrow \phi(x)\big)$ "?

Estoy algo tentado a pensar que en realidad puede denotar " $\exists x\big( x \in S \land \phi(x)\big )$ "pero no estoy seguro. Cualquier idea es muy apreciada. Saludos~

Answer 1

Estoy algo tentado a pensar que en realidad puede denotar " $\exists x\big( x \in S \land \phi(x)\big )$ "

Sí, eso es lo que significa.

es decir, es " $\exists x \in S, \phi(x)$ ", lógicamente equivalente a " $\exists x \big(x \in S \rightarrow \phi(x)\big)$ "?

Eso no sería muy útil, porque $x \in S \rightarrow \phi(x)$ es cierto para cada $x \notin S$ No importa lo que suceda. $\phi$ es, y así $\exists x \big(x \in S \rightarrow \phi(x)\big)$ es cierto para cualquier $S$ que no es todo el universo.

Answer 2

$\exists x{\in}S~.\phi(x)$ debe leerse como "Hay algo, llámalo $x$ que está en $S$ y satisface $\phi(x)$ y, por tanto, es sinónimo de $\exists x~.(x\in S\wedge\phi(x))$

Además, queremos dualidad del cuantificador para mantener en dominios restringidos, por lo que necesitará $\neg\forall x{\in}S~.\neg\phi(x)$ y $\exists x{\in}S~.\phi(x)$ para ser equivalencias lógicas.

Ahora porque $\neg \forall x{\in}S~.\neg\phi(x)$ es sinónimo de $\neg\forall x~.(x\in S\to \neg\phi(x))$ que por dualidad del cuantificador equivale a $\exists x~.\neg(x\in S\to\neg\phi(x))$ y, por tanto, con $\exists x~.(x\in S\wedge\phi(x))$ , por lo tanto querremos que esto sea sinónimo de $\exists x{\in}S~.\phi(x)$ .