Encuentre el número de enteros positivos que no contienen dígitos $0$ cuyos dígitos suman $10$ .

Question

Encuentre el número de enteros positivos que no contienen dígitos $0$ cuyos dígitos suman $10$ .

Answer 1

Suponga que tiene $10$ unidades escritas en una fila:

$$1 \quad 1 \quad 1\quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 1$$

Puedes ver que hay 9 espacios vacíos entre ellos, donde puedes poner un separador. Cualquier disposición de los separadores (excepto el caso en que no haya separadores) se puede mapear a un número con la suma igual a 10: simplemente debemos contar el número de unidades en cada bloque obtenido. Por ejemplo:

$$1 \quad 1~|~1\quad 1 \quad 1~|~1 \quad 1 \quad 1~|~1 \quad 1$$ Esta disposición corresponde al número $2332$ . Por otro lado, se puede ver que para cualquier número existe una única disposición de separadores que representa este número. Por lo tanto, es una biyección.

Dado que podemos seleccionar cualquier subconjunto de espacios (excepto el vacío) para rellenarlos con separadores, el número de formas de realizar dicha disposición es $2^9 - 1 = 512 - 1 = 511$ .