En la teoría de conjuntos ingenua ∅ = {∅} = {{∅}}?

Question

En la teoría de conjuntos ingenua, creo ∅ = {∅} = {{∅}} es correcto, pero sólo quería asegurarme de que he entendido correctamente.

∅ es un conjunto vacío, por lo que tener un conjunto vacío como un elemento de un conjunto que contiene nada más es casi la misma cosa, como por ejemplo, marcar el número 2 como 2.000000, ¿verdad? No el símbolo ∅ intrínsecamente implica que este es un conjunto vacío que contiene a sí mismo?

Answer 1

No, es incorrecto.

• ∅ es el conjunto vacío.
• {∅} es un conjunto que contiene exactamente un elemento: El conjunto vacío.
• {{∅}} es un conjunto que contiene exactamente un elemento de Un conjunto con un solo elemento, que es el conjunto vacío.

No el símbolo ∅ intrínsecamente implica que este es un conjunto vacío que contiene a sí mismo?

Estás confundiendo dos cosas aquí: la pertenencia a conjuntos y subconjuntos:

1. ∅ es un subconjunto de todo conjunto
2. pero es no es un miembro de cada set, al igual que 1 no es un miembro de cada conjunto, ya sea

Ejemplo

Si usted tiene dos elementos, a y b, y para construir el conjunto de todas las combinaciones posibles, la elección de 0 para todos los elementos, esta será su solución:

{∅, {a}, {b}, {a, b}}

Naturalmente, cada combinación posible es representado por un conjunto, que contiene el elegido de los elementos. Y el conjunto de todas las combinaciones posibles es (obviamente), representado por un conjunto que contiene todas las combinaciones (es decir, conjuntos), ahora tenemos un conjunto de conjuntos.

• Podemos elegir no hay ningún elemento en todo: ∅ es parte de nuestra solución
• Podemos elegir un elemento: {a} y {b} son parte de la solución
• Podemos elegir tanto los artículos: {a, b}

Nota: Esto se llama el juego de poder de {a, b}, generalmente denotado P({a, b}).

Tal vez usted piense de ∅ como "nada", porque es vacío. Sin embargo, eso es muy lejos de la verdad, un conjunto vacío es muy "real", es que no se nada. Usted no podría decir un vaso vacío no es nada, ¿lo harías?