Dejemos que $X$ sea un espacio lineal normado, y sea $T$ , $S$ ser dos diferentes operadores lineales acotados en $X$ tal que $T^2=T$ , $S^2=S$ , $TS=ST$ . Demostrar que $\lVert T-S\rVert \geq 1$ .
Esta era una pregunta de un examen preliminar que hice ayer. Hablando con algunos compañeros después, resultó que ninguno de nosotros la resolvió.
He conseguido demostrar que $\lVert T \rVert \geq 1$ y lo mismo para $S$ , ya que: $$\lVert T^2 \rVert\leq \lVert T\rVert^2 \implies \lVert T \rVert\leq \lVert T\rVert^2 \implies \lVert T \rVert\geq 1$$ Pero esto no pareció ayudarme. Después de eso, mi estrategia fue probar un reductio , suponiendo que $\lVert T-S\rVert <1$ y luego multiplicar ambos lados por $\lVert T-S\rVert$ o $\lVert T+S\rVert$ . Nada de esto parece llevarme a ninguna parte. Cualquier consejo sería apreciado.
