¿Encontrar el menor segmento de un punto en movimiento?

Question

Dejemos que $A=(0,1)$ y $B= (2,0)$ en el plano. Sea $O$ sea el origen y $C=(2,1)$ . Dejemos que $P$ moverse en el segmento $OB$ y que $Q$ moverse en el segmento $AC$ . Encuentre las coordenadas de $P$ y $Q$ para el que la longitud del trayecto constituido por el segmet $AP$ , $PQ$ y $QB$ es el menos.

Estaba tratando de resolver esta cuestión . He localizado todas las coordenadas de $A=(0,1)$ , $B=(2,0)$ y $C =(2,1)$ . Estaba tomando el punto medio de $AC =Q(\frac{1}{2},1)$ y el punto medio de $AB=P(1,\frac{1}{2})$ Creo que este será el menor de los segmentos. Tengo dudas de si mi respuesta es correcta o no.

Estaré muy agradecido a quien me ayude.

Answer 1

Dejemos que $P \equiv (n,0)$ y $Q \equiv (m,1)$ . Además, para simplificar las cosas, dejemos que la distancia de A a P sea igual a $x$ de P a Q igual $y$ y de Q a B igual $z$ . Entonces,

$$1+n^2=x^2$$ $$1+(m-n)^2=y^2$$ $$1+(2-m)^2=z^2$$

Y

$$x+y+z=\sqrt{1+n^2}+\sqrt{1+(m-n)^2}+\sqrt{1+(2-m)^2}$$

En cualquier punto "fixex" $Q \equiv (m,0)$ la suma anterior de la distancia será mínima cuando su derivada con respecto a $n$ es igual a 0. Esto ocurre sólo para $n=\frac{m}{2}$ . Entonces, $x+y+z$ alcanzará su mínimo cuando

$$\frac{\sqrt{1+n^2}+\sqrt{1+(n)^2}+\sqrt{1+(2-2n)^2}}{dn}=0$$

Esto ocurre en $n=\frac{2}{3}$ y $m=\frac{4}{3}$ Así que las dos respuestas posibles son

$P \equiv (2/3,0)$ y $Q \equiv (4/3,1)$

Y

$P \equiv (4/3,0)$ y $Q \equiv (2/3,1)$

Answer 2

La respuesta correcta es $P(\frac23;\;0)$ y $Q(\frac43;\;1)$

Si miras mi foto entenderás la razón por la que el camino es el más corto.

Duplicando dos veces tienes que la distancia mínima entre $O$ y $G$ es la línea recta y como $AP,\;PQ,\;QB$ son respectivamente iguales a los segmentos azules podemos concluir que las líneas verticales son $\frac13$ y $\frac23$ del segmento $OB$ .

Espero haberme hecho entender. El gráfico es muy claro, de todos modos

Otro camino, el rosa, sería más largo: mira la segunda foto