no linealidad de las EDP

Question

(1) $u_x + u_y = 0$
(2) $u_x + yu_y = 0$
(3) $u_x + uu_y = 0$
(4) $u_{xx} + u_{yy} = 0$
(5) $u_{tt} u_{xx} + u^3 = 0$
(6) $u_t + uu_x + u_{xxx} = 0$
(7) $u_{tt} + u_{xxxx} = 0$
(8) $u_t iu_{xx} = 0$

¿Puede alguien explicar, a partir de la definición de linealidad, por qué (3), (5) y (6) NO son EDP lineales?

Es decir, intenté $L(cu) = cL(u)$ y $L(u+v) = Lu + Lv$ pero no puedo conseguir que esta definición funcione bien para los ejemplos 3, 5 y 6 anteriores.

Gracias

Answer 1

Una ecuación diferencial es lineal si la(s) variable(s) dependiente(s) y sus derivadas aparecen linealmente en la DEqn. En otras palabras, si la DEqn es una combinación lineal de $u,u_x,u_y, u_{xy}, u_{xx},...$ entonces la DEqn será lineal. Aquí los coeficientes de la combinación pueden ser funciones no lineales de las variables independientes $x,y,...$ en su notación actual.

Por ejemplo,

$$uu_x+u_y=0$$

no es lineal porque tiene un término con un producto de términos dependientes $u$ y $u_x$ . Por otro lado,

$$ u_x+x^2u_{yy}+\sin(xy)u_{yy}=0$$

es una EDP lineal y como tal vez puedas ver los términos dependientes aparecen linealmente.

¿Qué es una combinación lineal? Dado $v_1,v_2,...v_k$ una combinación lineal de los $v_j$ de más de $S$ es

$$ s_1v_1+s_2v_2+ \dots s_kv_k $$

donde $s_1,s_2,\dots s_k \in S$ . Dicho todo esto, el patrón que señalo aquí se da simplemente para asegurar que la EDP se puede escribir como un operador lineal. Creo que la respuesta de Robert Miller va a este punto.

Answer 2

Veamos el número 3 con todo detalle. Definir

$$L(u)=u_x+u u_y$$ Entonces, para una constante arbitraria c, tenemos

$$L(c u)=(c u)_x+(c u )(c u)_y=c u_x+c u \left(c u_y\right)=c u_x+c^2 u u_y$$

Compárelo con

$$c L(u)=c\left(u_x+u u_y\right)=c u_x+c u u_y$$

Así que

$$L(c u) - c L(u) = c u_x + c^2 u u_y -\left(c u_x+c u u_y\right)=\left(c^2-c\right)u u_y\neq 0$$ y por lo tanto $L(u)$ no es lineal. Del mismo modo, se observa que los ejemplos 5 y 6 también tienen términos no lineales.