Intersección no vacía de clases de equivalencia.

Question

Tengo problemas con el siguiente ejercicio sobre clases de equivalencia en un conjunto definido.
Dejemos que $R$ sea una relación de equivalencia sobre un conjunto $A$ . Dado $a,b \in A$ demostrar que los siguientes enunciados son equivalentes (equivalencia lógica):

• $[a] \cap [b] \neq \emptyset $
• $a \in [b]$
• $[a] \subseteq [b]$

Cuando la notación $[a]$ significa la clase de equivalencia en el conjunto $A$ bajo la relación de equivalencia $R$ . Edición: Me puse a considerar la definición de una clase de equivalencia: $$[a] = \{b\in A:aRb\} $$ Y luego aplicar la definición de la intersección: $$[a] \cap [b] = \{a,b \in A:aRb \land bRa\}$$
Sin embargo, no sé si he aplicado la definición correctamente y no sé cómo continuar.
¿Puede ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

La forma en que has escrito $[a] \cap [b]$ es incorrecto; primero se trata $a$ y $b$ como atado variables (es decir, elementos de $A$ que ya fueron especificados), y luego como gratis (es decir, variables en las que se puede sustituir cualquier elemento de $A$ ); no soy un experto en esto pero estoy bastante seguro de que la forma en que has intercalado estas dos nociones es sintácticamente incorrecta (en todo caso confunde al lector). Si esto no tiene ningún sentido podrías considerar leer un poco sobre esto en wikipedia o al menos tratar de entender cuál es el problema con su definición.

De todos modos, la definición correcta sería $[a] \cap [b] = \{c \in A : aRc \mbox{ } \land \mbox{ }bRc \}$ . (¿ves por qué?)

Para (1) $\Rightarrow$ (2) utilizar la definición anterior y el hecho de que $R$ es transitiva; se puede demostrar (2) $\Rightarrow$ (3) de nuevo utilizando la propiedad transitiva (y por supuesto la definición de clases de equivalencia); y (3) $\Rightarrow$ (1) es trivial (o más bien es teoría de conjuntos muy básica).

Espero que te sirva de ayuda, y si te queda alguna duda intentaré responderla.