Hermosa Indefinido Integrales.

Question

Estas son algunas de las integrales con hermosas soluciones encontré-

$$\int \frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)^2} dx$$

$$\int\frac {1}{\sin^3x+\cos^3x} dx$$

$$\int \frac{1}{x^4+1}dx$$

Me encantaría si quieres compartir algunas de las que encontré.

Answer 1

Esto no es indefinida. Pero es una locura

$$ \int_0^{\pi/2} \frac{ d \theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta +b^2 \sin^2\theta }} = \frac{\pi}{2AGM(a,b)} $$

Donde AGM es la media aritmética media geométrica.

Answer 2

\begin{align} I_1 & = \int \sqrt{ \sqrt{ x + 2\sqrt{2x-4} } + \sqrt{ x - 2\sqrt{2x-4} } } \,\mathrm{d}x \, , \quad x>4\\ I_2 & = \int \log( \log x) + \frac{2}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \mathrm{d}x \\ I_4 & = \int (1 + 2x^2) e^{x^2}\, \mathrm{d}x \\ I_5 & = \int \frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2+1\,}\,}\,}{\sqrt{x^2+1\,}\,} \mathrm{d}x \\ I_6 & = \int \frac{2^x 3^x}{9^x - 4^x} \,\mathrm{d}x \end{align} \begin{align*} I_7 = \int \left( \frac{\arctan x}{x - \arctan x}\right)^2 \mathrm{d}x = \frac{1 + x \arctan x}{\arctan x - x} = \frac{1}{\tan (\beta - \tan \beta)}\,, \end{align*} donde $x = \tan \tan \beta$ o $\beta = \arctan (\arctan x)$. $$ I_6 = \int \frac{x^2+2x+1+ (3x+1)\sqrt{x+\ln x}}{x\,\sqrt{x+\ln x}(x+\sqrt{x+\ln x})}\mathrm{d}x = 2 (\sqrt{x+\ln x} + \ln(x+\sqrt{x+\ln x})) + C $$ Tengo un montón más de estos aquí, vea la página.68 por ejemplo. (haga clic sobre los problemas para la solución)

Answer 3

$$\int\dfrac{x^{4n}(1+x^{4n})}{1+x^2}dx$$

Por qué? Porque a partir de $0$ $1$dan buenas aproximaciones de $\pi$. Ver este

Answer 4

$$\int (\sqrt {\tan x}+\sqrt{\cot x})dx=\sqrt 2\arctan\dfrac{\sqrt{\tan x}-\sqrt{\cot x}}{\sqrt 2} +C$$

Answer 5

Wolfram alpha da tiempo excedido en este :

$$\int\dfrac{(x-1)\sqrt{x^4+2x^3-x^2+2x+1}}{x^2(x+1)}dx=\sqrt{t^2+2t-3}-\ln{(t+1+\sqrt{t^2+2t-3})}+\sqrt 3 \arcsin{\dfrac{t+5}{2(t+2)}}+C$$

donde $t=x+\dfrac 1 x$

Uno no simplemente integrar este.