Si $A \ge B$ entonces $A[α] \ge B[α]$

Question

Dejemos que $A, B \in M_n$ sea hermético. Si $A \ge B$ y

$ {\rm{\{ 1, }}{\rm{. }}{\rm{. }}{\rm{. , n\} }}$ .

¿Por qué $A[] \ge B[]$ ?

(Nota: $A[]$ es la submatriz de $A$ )

Answer 1

Desde $A\geqslant B$ , $A-B$ es semidefinido positivo. Así que todos sus menores principales son no negativos y semidefinidos positivos, es decir $(A-B)[\alpha]\geqslant 0$ lo que significa que $A[\alpha]\geqslant B[\alpha]$ .