Pregunta de expectativa condicional y suma de uniformes independientes

Question

Un conductor y un pasajero sufren un accidente de coche. Cada uno de ellos independientemente tiene una probabilidad p = 0,3 de ser hospitalizado. Cuando se produce una hospitalización, el coste X de la hospitalización se distribuye uniformemente en [0, 1]. Cuando se produce una hospitalización, el coste de hospitalización X se distribuye uniformemente en [0, 1]. Cuando ambas personas son hospitalizadas, los costes de hospitalización respectivos son independientes. Calcule el número esperado N de personas en el coche que que son hospitalizadas, dado que el coste total de hospitalización C del accidente es inferior a 1. (Sugerencia: la suma de dos costes de hospitalización independientes U[0,1]-aleatoria sigue la distribución triangular, simétrica en torno a 1.)

Hola, no estoy seguro de estar en lo cierto y necesito ayuda para corregirlo.

$N\sim Bin(2, 0.3)$ . ¿Debemos encontrar E[N|c<1]?

Se puede demostrar que $f_C(c) = c, $ cuando $ 0 \leq c\leq 1$ y f $_C(c) = 2 - c, $ cuando $1 \leq c \leq 2.$ (suma de 2 uniformes).

Es $f_{N|C<1}(n|c<1)$ ¿la distribución adecuada para encontrar la expectativa anterior? Si es así, ¿cómo puedo determinarlo? Gracias

Answer 1

Encuentre $\mathsf P(C<1)$ por medio de: $$\mathsf P(C<1)=\sum_{k=0}^2\mathsf P(N=k\wedge C<1)$$

Entonces para $k=1,2$ encontrar $\mathsf P(N=k\mid C<1)$ en la base de: $$\mathsf P(N=k\mid C<1)\mathsf P(C<1)=\mathsf P(N=k\wedge C<1)$$

Entonces encuentra $\mathsf E(N\mid C<1)$ por medio de: $$\mathsf E(N\mid C<1)=\sum_{k=1}^2k\mathsf P(N=k\mid C<1)$$

Answer 2

Formalicemos rigurosamente el escenario de la pregunta:

Se le da a uno $N$ binomio $(2,p)$ , $C=\sum\limits_{k=1}^NX_k$ , donde $(X_1,X_2)$ es independiente de $N$ y cada $X_k$ es uniforme en $[0,1]$ y $A=\{C<1\}$ y se pide $$E(N\mid C<1)=\frac{E(N\mathbf 1_A)}{P(A)}$$

Para resolverlo, primero hay que tener en cuenta que $$P(A)=P(A,N=0)+P(A,N=1)+P(A,N=2)$$ donde $$P(A,N=0)=P(N=0)=(1-p)^2$$ y $$P(A,N=1)=P(X_1<1)P(N=1)=P(N=1)=2p(1-p)$$ y $$P(A,N=2)=P(X_1+X_2<1)P(N=2)=rp^2$$ con $$r=P(X_1+X_2<1)$$ Ya sea por la simetría en torno a $1$ mencionado en la pregunta, o por un cálculo directo, $r=\frac12$ por lo que $$P(A)=(1-p)^2+2p(1-p)+\tfrac12p^2=1-\tfrac12p^2$$ Igualmente, $$E(N\mathbf 1_A)=P(A,N=1)+2P(A,N=2)=2p(1-p)+2\cdot\tfrac12p^2=2p-p^2$$ por lo tanto, finalmente,

$$E(N\mid C<1)=2p\,\frac{2-p}{2-p^2}$$