Integral $\int \arcsin \left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)dx$

Question

$$\int \arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)dx$$

Estoy tratando de resolver esta integral de los Problemas sobre un curso de análisis matemático de GN Berman (Pregunta número 1845)

Intenté sustituirlo por $x$ para $t^2$ : $$2\int t\arcsin\left(\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\right) dt$$ Y luego evaluarlo por partes, lo que lo hacía muy complicado.

Entonces, ¿cómo puedo resolver esto?

Answer 1

Dejemos que $t= \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ . Entonces,

$$I = \int \arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)dx = -\int \arcsin t\> d\left(\frac{1 }{1+t^2}\right) $$

Integrar por partes,

$$I= -\frac{\arcsin t}{1+t^2}+\int \frac{dt}{(1+t^2)\sqrt{1-t^2}} $$

Dejemos que $u^2=\frac{2t^2}{1-t^2}$ . Entonces, $$\int \frac{dt}{(1+t^2)\sqrt{1-t^2}} = \frac1{\sqrt2}\int \frac{du}{u^2+1} = \frac1{\sqrt2}\arctan u$$

Así,

$$I= -\frac{\arcsin t}{1+t^2}+ \frac1{\sqrt2}\arctan \left(\frac{\sqrt2 t}{\sqrt{1-t^2}}\right)+C$$ $$=-(1-x) \arcsin\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\sqrt{\frac{2x}{1-2x}}+ C$$

Answer 2

Aquí hay una buena solución que utiliza la simetría en lugar de $u$ susbstitución. Obsérvese que el dominio de esta función es como máximo $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ Así que, por el momento, vamos a definir

$$F(x) \equiv \int_0^x \arcsin\left(\sqrt{\frac{t}{1-t}}\right)\:dt$$

Podríamos hacer esta integral directamente, o como el integrando tiene un punto fijo en $0$ Obsérvese que la integral es la misma que el área de la caja $x \cdot \arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)$ menos la integral de la función inversa:

$$F(x) = x \arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right) - \int_0^{\arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)} 1 - \frac{1}{1+\sin^2 y}\:dy$$

$$= (x-1) \arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right) + \int_0^{\arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)}\frac{1}{\cos^2y+2\sin^2 y}\:dy$$

La integral se reduce a

$$\int_0^{\arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)}\frac{\sec^2y}{1+2\tan^2 y}\:dy = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2}\tan y\right)\Biggr|_0^{\arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)}$$

$$ = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{2x}{1-2x}}\right)$$

lo que nos da una respuesta final de

$$F(x) = (x-1) \arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{2x}{1-2x}}\right)$$

haciendo la antiderivada más general

$$\int \arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)\:dx = (x-1) \arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{2x}{1-2x}}\right) + C$$

Esta solución tiene la ventaja de no tener complicadas sustituciones que deshacer, como tienen las otras soluciones, pero hemos tenido suerte ya que esta técnica no siempre funcionará (¿cuáles son las probabilidades de que la función inversa sea más fácilmente integrable que la original?)

Answer 3

$$I=\int \sin^{-1} \sqrt{\frac{x}{1-x}} dx$$ Dejemos que $$\frac{x}{1-x}=t^2 \implies x=\frac{t^2}{1+t^2} \implies dx=\frac{2t}{(1+t^2)^2}$$ Entonces $$I=\int\frac{2t \sin^{-1}t}{(1+t^2)^2} ~dt $$ Integrarlo por partes tomando $\sin^{-1} t$ como primera función. A continuación, $$I=\sin^{-1} t \int \frac{ 2t dt}{(1+t^2)^2}=\frac{-\sin^{-1}t}{1+t^2}+\int \frac{dt}{(1+t^2)\sqrt{1-t^2}}=f(t)+I_1$$ Dejemos que $t=1/u \implies du=- dt/t^2$ y luego dejar que $v=u^2$ entonces $$I_1=-\int \frac{u du}{(1+u^2)\sqrt{u^2-1}}=-\int \frac{v dv}{2(1+v)\sqrt{v-1}}+C$$

Siguiente toma $v=w^2 \implies dv=2wdw$ entonces $$I_1=-\int \frac{dw}{2+w^2}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \frac{w}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1} \frac{1-2x}{2x}$$ Finalmente, $$I=(x-1)\sin^{-1} \sqrt{\frac{x}{1-x}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1} \frac{1-2x}{2x}$$

Answer 4

Sustituir

$$u = \sqrt{\frac{x}{1-x}} \implies \frac{du}{dx} = \frac{\sqrt{x}}{(1-x)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2\sqrt{1-x}\sqrt{x}}$$

Entonces la integral se convierte:

$$2 \int \frac{u\arcsin(u)}{(u^2 + 1)^2} \,du$$

Integración por partes $\left(f = \arcsin(u), g'= \frac{u}{(u^2 + 1)^2} \implies f'= \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}, g = -\frac{1}{2(u^2 + 1)}\right)$ :

$$2 \int \frac{u\arcsin(u)}{(u^2 + 1)^2} \,du = -\frac{\arcsin u}{2(u^2+1)} - \int \frac{1}{2\sqrt{1-u^2}(u^2+1)} \,du \text{ (1)}$$

Ahora resolveremos primero esta integral:

$$\int \frac{1}{2\sqrt{1-u^2}(u^2+1)} \,du \text{ (2)}$$

Sustituir $v = \arcsin(u) \implies du = \cos(v) \,dv$ entonces:

$$(2) \implies \int \frac{\cos(v)}{2\sqrt{1-\sin(v)^2}(\sin(v)^2+1)} \,dv$$ $$= \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin(v)^2+1} \,dv$$ $$= \frac{1}{2} \int \sec^2(v) \cdot \frac{1}{2\tan(v)^2+1} \,dv \text{ (3)}$$

Sustituir $w = \sqrt{2}\tan(v) \implies \frac{dw}{dv} = \sqrt{2}\sec^2(v)$ entonces:

$$(3) \implies \frac{1}{2\sqrt{2}} \int \frac{1}{w^2+1} \,dw = \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan(w)$$

Deshaciendo la sustitución, obtenemos:

$$\int \frac{1}{2\sqrt{1-u^2}(u^2+1)} \,du = \frac{\arctan(\frac{\sqrt{2}u}{\sqrt{1-u^2}})}{2\sqrt{2}}$$

Enchúfalo de nuevo en $(1)$ y deshacer la sustitución para obtener la respuesta.

Answer 5

Esto es lo que deberías conseguir. ¡¡Lo siento mucho pensé en el denominador no es arcSin, mis disculpas!!

Por favor, revise esto y hágame saber si tiene dudas o preguntas.