Si $A$ es un $n$ $\times$ $n$ mostrar que $A^2=0$ $\implies$ $Im(A) \subseteq Ker(A)$ .

Question

Y demostrar/refutar lo contrario.

Sé que tengo que demostrar que cualquier vector en la imagen (rango) debe estar también en el núcleo (espacio nulo) de $A$ .

No lo entiendo. Si $A^2=0,$ cuáles son los posibles valores de $A$ ? En cuanto a la imagen, si conozco A, puedo simplemente tomar combinaciones lineales de sus columnas. En cuanto al núcleo, si conozco estos valores, puedo resolver simplemente $A\vec x=\vec 0$ para $x \in \mathbb{R}^n$ .

Así que puedes ver que mi principal problema es encontrar las posibles matrices $A$ que satisfacen $A^2=0$ .

¿Alguien podría dar alguna pista? Gracias

Answer 1

Dejemos que $x\in\mathrm{Im} A$ . Entonces existe $y\in\mathbb{R}^n$ tal que $Ay=x$ . Aplicando $A$ en esa ecuación da

$$Ax = A^2 y = 0$$

Esto significa que $x\in\mathrm{Ker} A$ .

Así que hemos demostrado $\mathrm{Im} A\subseteq \mathrm{Ker} A$ .

Nota :

Lo contrario también es cierto:

Si $\mathrm{Im} A\subseteq \mathrm{Ker} A$ , dejemos que $x\in\mathbb{R}^n$ .

Ahora $Ax\in \mathrm{Im} A$ Por lo tanto, también $Ax\in\mathrm{Ker} A$ es decir $A^2 x = A(Ax)=0$ .

Answer 2

Elija $x$ en $\mathrm{Im} A$ . Existe $z$ tal que $x=Az$ . Por lo tanto, $Ax=A^2z$ y $A^2z=0$ porque $A^2=0$ . Así, $x$ está en $\ker A$ .

Ahora, prueba con las converse.

Answer 3

De hecho hay un resultado más general y es una equivalencia

$$AB=0\iff \operatorname{Im} B\subset \operatorname{Ker}A$$ desde

$$A(\underbrace{B x}_{\in \operatorname{Im} B})=0\iff Bx\in \operatorname{Ker}A$$