$G/H$ es un grupo finito por lo $G\cong\mathbb Z$

Question

Deje $G$ es un abelian infinte grupo tal que para todos los subgrupos no triviales $H$ $$\forall H\leq G, \left|\frac{G}{H}\right|<\infty$$ Prove that $G\cong\mathbb Z$.

Lo que he hecho:

Claramente, es suficiente para demostrar que $G$ es un grupo cíclico. Por otra parte, veo como $G/H$ es un grupo finito para todos los subgrupos $H$, $G$ no tienen elementos finitos de orden. Esto significa para mí que si $H \leq G$ $H$ es cíclico, a continuación, $H$ no puede ser finito. Ayudar a su amigo para el resto. Gracias. :)

Answer 1

Mostrar que dicho grupo debe ser finitely generado. Utilizando el teorema fundamental de finitely generado abelian grupos, tiene que

$G \simeq \mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z} / n_1 \mathbb{Z} \times ... \times \mathbb{Z} / n_k \mathbb{Z}$

donde $n_i \in \mathbb{Z}$. Hay un isomorfo copia de cada factor del contacto directo con el producto en $G$. Quotienting $G$ $\mathbb{Z}^s$ varios $1 \leq s \leq r$ e las $\mathbb{Z} / n_i \mathbb{Z}$, se ve que $r = 1$ ($r \geq 1$ para el grupo a ser infinito y $r \leq 1$ para el finito propiedad del cociente) y $k = 0$ (para el finito propiedad del cociente).