Teorema de Weissinger. ¿Cómo se demuestra?

Question

Teorema (Weissinger). Dejemos que $C$ sea un subconjunto cerrado (no vacío) de un espacio de Banach de Banach $X$ . Supongamos que $K : C C$ satisface $$\|K^nx K^ny\| _n\|x y\|, \quad x,y C $$ con $\sum_n _n < $ . Entonces $K$ tiene un único punto fijo $\bar x$ tal que $$ \|K^nx \bar x\| \sum_{j=n}^\infty _j\cdot \|Kx x\|,\quad x C. $$

Answer 1

$\def\norm#1{\left\|#1\right\|}$ Dejemos que $x, y \in C$ sean puntos fijos de $K$ tenemos entonces, como $\theta_n \to 0$ que $$ \norm{x-y} = \norm{K^nx - K^n y} \le \theta_n \|x-y\| \to 0. $$ Así que $x=y$ y $K$ tiene como máximo un punto fijo.

Para demostrar la existencia, dejemos que $x \in C$ tenemos para $n,k \ge 0$ \begin{align*} \norm{K^{n+k}x - K^nx} &\le \norm{K^{n+k}x - K^{n+k-1} x} + \norm{K^{n+k-1}x - K^nx} \\ &\le \theta_{n+k-1} \norm{Kx - x} + \norm{K^{n+k-1}x -x}\\ &\le \cdots\\ &\le \sum_{i=n}^{n+k-1} \theta_{i} \norm{Kx - x}\\ &\le \sum_{i=n}^\infty \theta_i \cdot \norm{Kx - x} \end{align*} Como $\sum_i \theta_i < \infty$ tenemos $\sum_{i=n}^\infty \theta_i \to 0$ para $n\to\infty$ . Así que $\norm{K^{n+k} x - K^nx} \to 0$ , $n \to \infty$ uniformemente en $k$ . Así que $(K^n x)_n$ es Cauchy, y por tanto convergente (como $C$ es un subespacio cerrado de un espacio completo, así que completo). Sea $\bar x := \lim_n K^n x$ . Entonces, como $K$ es continua \[ K\bar x = K(\lim_n K^n x) = \lim_n K^{n+1} x = \bar x \] Así que $\bar x$ es un punto fijo, esto demuestra la existencia. Volviendo a nuestra estimación anterior \[ \norm{K^{n+k} x - K^n x } \le \sum_{i=n}^infty \theta_i \cdot \norm{Kx - x} \] No para $k \to \infty$ tenemos $K^{n+k}x \to \bar x$ Así que \[ \\N - K^n x \N - es decir, \N la suma_{i=n}^infty \N -theta_i \N -cdot \N de la norma{Kx - x}. \]