Método numérico para EDP acopladas (sistema de leyes de conservación)

Question

Tengo las siguientes EDP:

$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = - \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}u - \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}}$

$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = - u\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {\frac{1}{{\sqrt \rho }}\frac{{{\partial ^2}(\sqrt \rho )}}{{\partial {x^2}}}} \right]$

donde $\rho (x,t)\,\,\,,\,\,\,u(x,t)$

las condiciones de contorno están dadas para:

$\rho (x,t = 0),\,\,\,\,u(x,t = 0)$

Quiero resolver las ecuaciones numéricamente y ver cómo $\rho$ y $u$ evolucionar con el tiempo.

Estoy familiarizado con los métodos de diferencias finitas y de valores finitos, pero como las dos ecuaciones están acopladas no sé cómo empezar.

¿Puede alguien sugerir un método numérico práctico para este tipo de problema?

Gracias.

Answer 1

El sistema de ecuaciones se reescribe como un sistema de leyes de conservación con relajación $$ \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{U} + \frac{\partial}{\partial x} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{U}) = \boldsymbol{r}(\boldsymbol{U}) \, , $$ donde $\boldsymbol{U} = (\rho,u)^\top$ , $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{U}) = (\rho u, \frac{1}{2}u^2)^\top$ y $\boldsymbol{r}(\boldsymbol{U}) = (0, -\frac{\partial}{\partial x}[\frac{1}{\sqrt{\rho}} \frac{\partial^2\sqrt{\rho}}{\partial x^2}])^\top$ . Una estrategia eficiente para resolver numéricamente este tipo de ecuaciones es dividir (por ejemplo, la división de Godunov o Separación de estrangulamiento ), que consiste en resolver sucesivamente la parte propagativa $$ \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{U} + \frac{\partial}{\partial x} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{U}) = \boldsymbol{0} $$ mediante un método de volúmenes finitos adecuado, y la parte de relajación $$ \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{U} = \boldsymbol{r}(\boldsymbol{U}) $$ en cada paso de tiempo $t \leftarrow t+\Delta t$ . En caso contrario, una discretización explícita directa $$ \frac{\boldsymbol{U}_i^{n+1}-\boldsymbol{U}_i^{n}}{\Delta t} + \frac{\hat{\boldsymbol{f}}_{i+1/2}^n - \hat{\boldsymbol{f}}_{i-1/2}^n}{\Delta x} = \hat{\boldsymbol{r}}_i^n $$ del sistema completo puede utilizarse, cuando $\boldsymbol{U}_i^{n} \approx \boldsymbol{U}(i\Delta x, n\Delta t)$ denota la solución numérica, $\hat{\boldsymbol{f}}_{i+1/2}^n$ es el flujo numérico de un método de volúmenes finitos (por ejemplo Lax-Friedrichs o Godunov ), y $\hat{\boldsymbol{r}}_i^n \approx \boldsymbol{r}(\boldsymbol{U}(i\Delta x, n\Delta t))$ . De este modo, se obtiene la fórmula del paso del tiempo $$ \boldsymbol{U}_i^{n+1} = \boldsymbol{U}_i^{n} - \frac{\Delta t}{\Delta x} \left( \hat{\boldsymbol{f}}_{i+1/2}^n - \hat{\boldsymbol{f}}_{i-1/2}^n\right) + \Delta t \, \hat{\boldsymbol{r}}_i^n \, . $$ Este último enfoque a menudo no es tan eficiente como la división, y puede tener problemas de estabilidad. Para más información, un libro de referencia dedicado a este tipo de sistemas es LeVeque, 2002 .