Forma cerrada de la suma factorial

Question

Me encontré con esta pregunta en unos conjuntos de problemas extracurriculares que me dio mi profesor: cuál es la notación de forma cerrada para la siguiente suma:

$$S_n = 1\cdot1!+2\cdot2!+ ...+n \cdot n!$$

Intenté calcular algunos términos, y lo único "vago" que noté fue que tal vez debería restar un término, pero realmente no estoy seguro. Busqué en los archivos de StackExchange una forma cerrada de $S_n = 1!+2!+ ...+ n!$ pero eso no me ayudó mucho con mi problema.

¿Algún consejo?

Answer 1

Tienes razón en lo de restar un término; de hecho, hay una estrategia (inteligente) llamada "sumas telescópicas" y es especialmente útil aquí, y no necesitarás la inducción para demostrarlo. Quieres que los términos se anulen para que te quedes sólo con el primer y el último término.

Si quieres hacerlo tú mismo, deja de leer aquí y medita sobre esta idea: ¿cómo puedes cambiar lo que hay en la notación de la suma para producir una secuencia de números tal que los términos "medios" se cancelen?

Si quieres la solución, aquí la tienes:

Dejemos que $n=(n+1)-1$ y luego sustituir esto en su notación de suma en consecuencia: $$S=\sum\limits_{i=1}^{n}((n+1)-1)\cdot n!$$ $$S=\sum\limits_{i=1}^{n}[(n+1)\cdot n!-n!]$$ $$S=\sum\limits_{i=1}^{n}((n+1)!-n!)$$

Al elaborar algunos términos y el último, vemos inmediatamente: $$S=2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+n!-(n-1)!+(n+1)!-n!$$

Lo que se simplifica a:

$$S=(n+1)!-1$$

Answer 2

Podemos escribir la relación anterior como sigue:

$\sum_{k=1}^{n}k.k!=\sum_{k=1}^{n}(k+1-1)k!=\sum_{k=1}^{n}(k+1)!-\sum_{k=1}^{n}k!=\sum_{k=2}^{n+1}k!-\sum_{k=1}^{n}k!=\sum_{k=1}^{n+1}k!-\sum_{k=1}^{n}k!-1=(n+1)!-1$

Answer 3

Añadir 1 a $1!$ y se obtiene $2!$ Así que, entonces, lleva eso y añade eso $2 \cdot 2!$ y se obtiene $3!$ Así que, entonces, lleva eso y lo agrega a $3 \cdot 3!$ y se obtiene $4!$ y así sucesivamente. Al final simplemente obtendrá $(n+1)!$ . Así que eso es lo que pasa cuando sumas 1.

Answer 4

Obtenemos $\sum_{i=1}^n=(n+1)!-1$ por inducción

Answer 5

Dejemos que $p$ sea un número entero positivo. Respondemos a una pregunta más general. ¿Es la suma \begin{equation} S_p(n) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} k \cdot (k+p)! \end{equation} dado como un término hipergeométrico más una constante. Utilizaremos el algoritmo de Gosper. Denotemos $t_n := n \cdot (n+p)!$ . Calcula el cociente de los términos de la suma: \begin{equation} r_k = \left(k+p+1\right) \cdot \frac{k+1}{k} \end{equation} Inmediatamente vemos que $a_k = k+p+1$ , $b_k = 1$ y $c_k = k$ donde \begin{equation} r_k = \frac{a_k}{b_k} \cdot \frac{c_{k+1}}{c_k} \end{equation} y $gcd(a_k,b_{k+h}) = 1$ para todos $h=1,2,3,..$ . Buscamos soluciones polinómicas a la siguiente recurrencia: \begin{equation} (k+p+1) x_{k+1} - 1 \cdot x_k = k \end{equation} Ahora bien, si existe una solución polinómica, su grado debe ser igual a $d = deg(c_k) - max(deg(a_k),deg(b_k))=1-1=0$ . Inserción de $x_k = A$ nos encontramos con que: \begin{equation} (A-1) k + p A = 0 \end{equation} que da $A=1$ y $p=0$ . Por lo tanto, sólo si $p=0$ que la suma está dada en forma cerrada y entonces se lee $S_0(n) = t_n \cdot b_{n-1}/c_n \cdot x_n = n!$