Álgebra de Lie SU(5): Derivar la representación matricial de 10 dimensiones, a partir de la representación matricial fundamental de 5 dimensiones dada

Question

Mi pregunta (en abstracto)

Si sabemos escribir la representación matricial de la representación fundamental de SU(N), ¿podríamos utilizarla para derivar la representación matricial de otras representaciones de SU(N)? (adjunto, antisimétrico, o simétrico, etc.)

Por ejemplo, para SU(2), hice una pregunta de prueba aquí Álgebra de Lie SU(2): Derivar la representación matricial adyacente tridimensional, a partir de la representación matricial fundamental bidimensional dada .

Ahora vamos a considerar el ejemplo de SU(5).

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Sabemos que el producto tensorial de la representación fundamental de 5 dimensiones de SU(5) da la representación de 10 dimensiones (antisimétrica) y la representación de 15 dimensiones (simétrica) de SU(5): $$ 5 \times 5 = 10_A + 15_S $$

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Es fácil escribir las representaciones matriciales de 5 dimensiones de SU(5) con 24 generadores matriciales de rango 5 del álgebra de Lie como

Mi pregunta (concretamente)

es que se basa en el hecho de $$ 5 \times 5 = 10_A + 15_S $$

¿Cómo se escriben las representaciones matriciales de 10 y 15 dimensiones de SU(5)?

• Representaciones matriciales de 10 dimensiones de SU(5) con 24 generadores matriciales de rango 10 del álgebra de Lie.

• Representaciones matriciales de 15 dimensiones de SU(5) con 24 generadores matriciales de rango 15 del álgebra de Lie.

Advertencia: Tenga en cuenta que el $10_A$ no es sólo la matriz antisimétrica de rango 5 como generadores del álgebra de Lie porque eso sólo da 10 matrices de este tipo que generan el SO(5) en lugar del SU(5).

Answer 1

Como ya ha señalado Callum, los cálculos necesarios para una base determinada son sencillos, pero bastante tediosos. Por ello, propongo utilizar un CAS para automatizarlo. En Mathematica Esto podría ser algo así:

Reciclando algo de código de 159030 podemos generar algunos base basissu de $\mathfrak{su}(5)$ (no es el que da OP, pero se puede sustituir basissu por cualquier otra base personalizada):

n = 5;
a = 1/Sqrt[2] Flatten[
    Table[ 
      SparseArray[{{i, j} -> I, {j, i} -> I}, {n, n}], 
      {i, 1, n}, {j, i + 1, n}
      ], 
    1
    ];
b = 1/Sqrt[2] Flatten[
    Table[
      SparseArray[{{i, j} -> -1, {j, i} -> 1}, {n, n}], 
      {i, 1, n}, {j, i + 1, n}
      ], 
    1
    ];
c = DiagonalMatrix@*SparseArray /@ 
   Orthogonalize[
    Table[SparseArray[{{i} -> I, {i + 1} -> -I}, {n}], {i, 1, n - 1}]];
basissu = Join[a, b, c];

Ahora generamos una base ortonormal para $\Lambda^2\mathbb{C}^5$ :

e = IdentityMatrix[n];

innerprod[X_, Y_] := Tr[ConjugateTranspose[X].Y]

basis\[CapitalLambda]2 = Orthogonalize[
   Flatten[
    Table[
     Normal[TensorWedge[e[[i]], e[[j]]]], {i, 1, n}, {j, i + 1, n}],
    1
    ],
   innerprod
   ];

basisS2 = Orthogonalize[
   Flatten[
    Table[
     Normal[
      TensorProduct[e[[i]], e[[j]]] + TensorProduct[e[[j]], e[[i]]]], {i, 1, n}, {j, i + 1, n}],
    1
    ],
   innerprod
   ];

(Curiosamente, hay una TensorWedge (correspondiente a $\wedge$ ) en Mathematica pero no TensorDot (correspondiente a $\odot$ ), así que tuvimos que sacar el nuestro propio).

Si no me equivoco, la acción de $\mathfrak{su}(5)$ en $\bigotimes^2 \mathbb{C}^5$ viene dada por lo siguiente.

action[A_] := X |-> Transpose[A].X + X.A

A continuación, generamos la matriz de Gram (que es la matriz identidad, por si se quiere utilizar alguna base no ortonormal) y la utilizamos para representar la acción de $A \in \mathfrak{su}(5)$ como matriz en términos de la base elegida en $\Lambda^2 \mathbb{C}^5$ .

invGramMatrix\[CapitalLambda]2 = 
  Inverse@
   Outer[innerprod, basis\[CapitalLambda]2, basis\[CapitalLambda]2, 1];
representationMatrix\[CapitalLambda]2[A_] := 
  Outer[innerprod, 
   invGramMatrix\[CapitalLambda]2 . basis\[CapitalLambda]2, 
   action[A] /@ basis\[CapitalLambda]2, 1];

Ahora podemos asignar la función representationMatrix\[CapitalLambda]2 sobre la base elegida de basissu

representationMatrix\[CapitalLambda]2 /@ basissu

Para los tensores simétricos, el procedimiento es totalmente análogo:

basisS2 = Orthogonalize[
       Flatten[
        Table[
         Normal[
          TensorProduct[e[[i]], e[[j]]] + TensorProduct[e[[j]], e[[i]]]], {i, 1, n}, {j, i + 1, n}],
        1
        ],
       innerprod
       ];
invGramMatrixS2 = Inverse@Outer[innerprod, basisS2, basisS2, 1];
representationMatrixS2[A_] := Outer[innerprod, invGramMatrixS2.basisS2, action[A] /@ basisS2, 1];

representationMatrixS2 /@ basissu

Answer 2

Si $V$ , $W$ son representaciones de alguna álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ entonces $V\otimes W$ es una representación con acción dada por:

$$ X(v\otimes w) = X(v) \otimes w + v \otimes X(w),$$

para cada $X \in \mathfrak{g}$ . Tiene la acción de $\mathfrak{g} = \mathfrak{su}(5)$ dado en alguna base explícita $v_1,\dots,v_5$ de $V$ y luego se pregunta cómo se ve la acción en $V \otimes V$ . La base más sencilla de elegir sería quizás $v_i \otimes v_j$ para cada $i$ y $j$ y podrías calcular explícitamente lo que hace cada uno de tus generadores a cada uno de estos y tienes una serie de matrices de 25 por 25 (blegh).

Sin embargo, como has observado, la representación se divide en 2 representaciones irreducibles, así que quizás podamos hacerlo mejor. ¿Qué ocurre aquí? Pues que la acción del álgebra de Lie conmuta con la acción del grupo simétrico (es decir, con el intercambio del orden de $v_i \otimes v_j$ ) por lo que $\bigwedge^2V$ el cuadrado exterior, y $\mathrm{S}^2V$ el cuadrado simétrico, tienen que ser subrepresentaciones. Se trata, respectivamente, de los tramos de $v_i \wedge v_j$ y $v_i \odot v_j$ donde estamos pensando en estos como:

$$v_i \wedge v_j = v_i \otimes v_j - v_j \otimes v_i$$ $$v_i \odot v_j = v_i \otimes v_j + v_j \otimes v_i$$

El cuadrado exterior tiene dimensión 10 en este caso y el cuadrado simétrico tiene dimensión 15.

Ahora tenemos que tener un poco de cuidado aquí ya que estamos trabajando con $\mathfrak{su}$ que es un álgebra de Lie real considerada como actuando en un espacio vectorial complejo.

Para potencias tensoriales superiores tenemos las mismas ideas, excepto que hay más subrepresentaciones que se obtienen mirando la acción del grupo simétrico. Nos referimos a esto como Pleythism y aquí es donde aparecen las tablas de Young y los coeficientes de Clebsh-Gordon para hacer un seguimiento de esto.