Resolver la ecuación diferencial $y'=y^2-x$

Question

Resolver la ecuación diferencial $$y'=y^2-x$$ con dos condiciones iniciales diferentes: $y(0)= 1$ y $y(0)=0.5$ .

Mi idea:

Supongamos que $y^2=t$ entonces $2yy'=t' \Rightarrow y'= \frac{t'}{2 \sqrt{t}}$

Dada la ecuación reducida por $\frac{t'}{2 \sqrt{t}}=t-x \Rightarrow t'=2 t\sqrt{t}-x \sqrt{t}$

¿Cómo resolver a partir de aquí y cómo utilizar las dos condiciones iniciales?

Answer 1

Con la sustitución $$y=-\frac{u'}u,$$ la ecuación diferencial se convierte en lineal: $$u''=xu\tag1.$$ Esta ecuación es importante en física, por eso sus soluciones están bien estudiadas, la solución general es $$u(x)=A\cdot\operatorname{Ai}(x)+B\cdot\operatorname{Bi}(x),$$ con funciones especiales llamadas Funciones aireadas y las constantes se pueden determinar a partir de la condición inicial \begin{align}A\cdot\operatorname{Ai}(0)+B\cdot\operatorname{Bi}(0)&=1\\ A\cdot\operatorname{Ai}'(0)+B\cdot\operatorname{Bi}'(0)&=-y(0)\end{align} o puede utilizar las ecuaciones más sencillas \begin{align}A&=\operatorname{Bi}'(0)+\operatorname{Bi}(0)\,y(0)\\B&=-\operatorname{Ai}'(0)-\operatorname{Ai}(0)\,y(0)\end{align} (un factor constante de $u$ no cambia nuestra solución $y$ ). Dado que las funciones $\operatorname{Ai}(x)$ y $\operatorname{Bi}(x)$ y sus derivadas se implementan en Wolfram language, lo que no es más complicado que una expresión que utilice sólo funciones estándar. Se puede trazar fácilmente la solución correspondiente a $y(0)=1$ en Wolfram Alpha y verás que tiene una singularidad, un fenómeno frecuente en las ecuaciones diferenciales no lineales. Es debido a un cero de $u(x)$ en $x = 1.1073295812364012192025254$ y también puedes utilizar Wolfram Alpha (o Mathematica) para determinar ese valor.
Por supuesto, también se puede resolver la ecuación (1) por cualquier método numérico. Dado que $u$ es una función completa, todas funcionarán muy bien.

Answer 2

Resolver la ecuación analíticamente es imposible a mano, ya que implica una expresión realmente compleja que involucra a la función de Bessel. Sin embargo, para este tipo de cuestiones, se aplicó el enfoque de solución mediante series de potencias.

Por el enfoque de la serie de potencias, se supone que una solución será proporcional a :

$$y(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n(x-x_0)^n$$

en torno a un punto de valor inicial $x=x_0$ .

Para su caso concreto, ya que $x_0=0$ A juzgar por los PIV dados, tendrás que resolver los siguientes sistemas de ecuaciones para ambos casos :

$$\begin{cases} y'=y^2-x \\ y(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_nx^n \\ y(0) = 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} y'=y^2-x \\ y(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_nx^n \\ y(0) = 1/2 \end{cases}$$

Para ello, tendrás que calcular la derivada de la suma dada para introducirla en tu ecuación diferencial y encontrar las expresiones y valores de las constantes $a_n$ :

$$y(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_nx^n$$

$$y'(x) = \sum_{n = 0}^\infty na_nx^{n-1}$$

¿Puede proceder ahora?

(Créditos a Pedro también por señalarlo en la sección de comentarios)