¿Cuál es el mayor determinante de una real $3\times 3$-matriz con entradas a partir del intervalo de $[-1,1]$ ? Un resultado de John Williamson dice que el valor más grande es igual a $4$, si las entradas se acaba de $1$ o $-1$. Es verdadera para todos los valores de $[-1,1]$ ? Para matrices complejas con las entradas de $|a_{ij}|\le 1$ no es cierto. Tenemos $|\det(A)|\le 3\sqrt{3}$, y la igualdad no puede ser alcanzado con un Vandermonde tipo de matriz que contiene la tercera raíces de la unidad.
Respuesta
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El factor determinante es (hasta firmar y un factor de $6$) el volumen de un tetraedro havingthe origen y los tres vectores columna como vértices. Mover un vértice más desde el plano determinado por los otros tres vértices se incrementa el volumen. Por la convexidad de el cubo, entre los puntos más lejanos al menos un vértice. Por lo tanto el resultado de $[-1,1]$ es el mismo que para $\{-1,1\}$.
