Un juego sobre anillos noetherianos

Question

Un amigo sugirió el siguiente juego combinatorio. En cualquier momento, el estado del juego es un anillo noetheriano (conmutativo) $\neq 0$ . En el turno de un jugador, éste elige un elemento no nulo del anillo y lo sustituye por su cociente con el ideal generado por ese elemento. El jugador que haga el último movimiento legal gana, pasando al oponente un campo.

Así que si el anillo era $\mathbb C[x,y]/(x^2+y^2-1)$ y un jugador elige $x$ el anillo se convierte en $\mathbb C[y]/(y^2-1)$ . Este es un movimiento pobre, ya que su oponente puede convertir el anillo en un campo eligiendo $y+1$ o $y-1$ y ganar. Una jugada ganadora habría sido $x+iy+1$ que convierte el anillo en un campo inmediatamente y gana el juego.

Problema: Dado un anillo, ¿cómo podemos saber si es una posición ganadora para el primer jugador o para el segundo?

(El juego termina ya que el anillo original es noetheriano, y un juego interminable sería una cadena ascendente infinita en el anillo original).

Answer 1

He calculado el nimbers de algunos anillos, por si sirve de algo. No veo ningún patrón sensato, así que quizá la respuesta general sea irremediablemente difícil. Esto no sería sorprendente, porque incluso para juegos muy simples como brotes empezando por $n$ puntos no se conoce ningún patrón general para los nimbers correspondientes.

OK, así que la forma en que funciona es que la madera de un anillo $A$ es el ordinal más pequeño que no está en el conjunto de nimbers de $A/(x)$ para $x$ no es cero y no es una unidad. El nimber de un anillo es cero si el juego correspondiente es una victoria del segundo jugador -- este es un resultado estándar y fácil en la teoría de juegos combinatorios. Si el nimber es distinto de cero entonces la posición es una victoria del primer jugador y su movimiento ganador es reducir el anillo a un anillo con nimber cero.

Todos los campos tienen el nimbo cero, porque el cero es el ordinal más pequeño que no está en el conjunto vacío. Una inducción fácil sobre $n$ muestra que para $k$ un campo y $n\geq1$ la nimba de $k[x]/(x^n)$ es $n-1$ La cuestión es que los ideales de $k[x]/(x^n)$ son precisamente los $(x^i)$ . En general, un anillo local de Artin de longitud $n$ tendrá nimber como máximo $n-1$ (de nuevo, inducción trivial), pero la desigualdad estricta puede mantenerse. Por ejemplo, si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $k$ y construimos un anillo $k\oplus \epsilon V$ con $\epsilon^2=0$ , esto tiene nimber cero si $V$ es par y uno si $V$ es impar-dimensional; de nuevo la prueba es una simple inducción sobre la dimensión de $V$ utilizando el hecho de que un elemento no nulo y no unitario de $k\oplus\epsilon V$ es sólo un elemento no nulo de $V$ y cotizando por ella se reduce la dimensión en 1. En particular, el anillo $k[x,y]/(x^2,xy,y^2)$ tiene nimbo cero, lo que significa que en el momento en que se empieza a tratar con variedades bidimensionales las cosas se van a complicar. Pero quizás esto no sea sorprendente -- un anillo local de Artin es mucho más complicado que un juego de brotes e incluso los brotes son un misterio.

Anillos como $k[[x]]$ y $k[x]$ tienen nimber $\omega$ el primer ordinal infinito, ya que tienen cocientes de nimber $n$ para todo lo que es finito $n$ . Como se ha señalado implícitamente en los comentarios, la respuesta para una curva afín lisa general (sobre los complejos, por ejemplo) es ligeramente delicada. Si hay un divisor primo principal, el número es distinto de cero y probablemente $\omega$ de nuevo; es distinto de cero porque P1 puede reducirse a un campo. Pero si el género es alto entonces puede no haber un divisor primo principal, por Riemann-Roch, y ahora el nimber será cero porque cualquier movimiento reducirá la situación a una suma directa de anillos de la forma $k[x]/(x^n)$ y dicha suma directa tiene nimber positivo ya que puede reducirse a cero en un solo movimiento. Así que hay algo para las curvas. Sin embargo, para las superficies me da miedo porque los anillos locales de Artin que surgirán cuando la situación se convierta en 0 dimensiones pueden ser mucho más complicados.

No veo ningún patrón discernible realmente, pero de nuevo en el momento en que dejas los juegos realmente triviales, los nimbers a menudo no siguen ningún patrón discernible, por lo que podría ser difícil decir algo interesante sobre lo que está pasando.

Answer 2

Llamemos a un anillo conmutativo noetheriano $R$ un $\mathcal{N}$ -si el siguiente jugador tiene una estrategia ganadora; en caso contrario, el jugador anterior tiene una estrategia ganadora y lo llamaremos $\mathcal{P}$ -posición. El anillo cero está permitido y, por tanto, elegiremos la regla de juego misère, es decir, el jugador con la última jugada pierde (véase el comentario de Tom Goodwillie). Por ejemplo, está claro que el anillo cero es $\mathcal{N}$ que los campos son $\mathcal{P}$ y que los PID que no son campos son $\mathcal{N}$ .

En general, $R$ es $\mathcal{P}$ si $R/\langle x \rangle$ es $\mathcal{N}$ para todo $0 \neq x \in R$ y $ R$ es $\mathcal{N}$ si $R=0$ o $R/\langle x \rangle$ es $\mathcal{P}$ para algunos $0 \neq x \in R$ . Como tema general, $\mathcal{P}$ -los puestos son bastante raros y difíciles de encontrar, y cada $\mathcal{P}$ -Posición es responsable de muchos $\mathcal{N}$ -puestos que luego son más fáciles de encontrar.

Se han comprobado los siguientes resultados aquí :

• Si $R$ es $\mathcal{P}$ entonces $\mathrm{Spec}(R)$ está conectado (Rem. 5.1).
• Dejemos que $R$ sea un dominio Dedekind. Si $R$ tiene algún ideal máximo principal, entonces $R$ es $\mathcal{N}$ ; de lo contrario, $R$ es $\mathcal{P}$ (Prop. 5.6).
• De ello se desprende que $K[X,Y]/\langle f \rangle $ es $\mathcal{P}$ cuando $f$ es una ecuación de Weierstrass y $K$ es un campo algebraicamente cerrado (Prop. 5.7).
• También se puede demostrar que el anillo de coordenadas de la cúspide $K[X,Y]/\langle Y^2-X^3 \rangle$ es $\mathcal{P}$ (Prop. 5.13).
• Por lo tanto, $K[X,Y]$ es $\mathcal{N}$ si $K$ es algebraicamente cerrado.
• Esto es válido para todos los campos $K$ porque $K[X,Y]/\langle X^2 \rangle$ es $\mathcal{P}$ (Prop. 5.16).
• Para ello se necesita que $K[X,Y]/\langle X^2,f^{n+1},f^n X \rangle$ es $\mathcal{P}$ para cada irreducible $f \in K[Y]$ (caso especial de la Prop. 5.15).

Conjeturo que $K[X_1,\dotsc,X_n]$ es $\mathcal{N}$ para todos $n \geq 1$ .

---

También podemos jugar a este juego con grupos. Se empieza con un grupo $G$ . Un movimiento consiste en sustituir $G$ por $G/\langle\langle a \rangle\rangle$ es decir, cotizamos el subgrupo normal más pequeño que contiene algún elemento $a \neq 1$ . La condición de finalización se cumple si se cumple la condición de cadena ascendente en los subgrupos normales (¿tienen nombre estos grupos?). Cuando $G$ es abeliano, esto significa que $G$ está generada finitamente.

En realidad podemos jugar a este juego por toda estructura algebraica : Comenzamos con un álgebra $A$ de una firma determinada. Un movimiento consiste en sustituir $A$ por $A/(a \sim b)$ , donde $a,b \in A$ con $a \neq b$ .

He tratado de analizar este juego para grupos abelianos, grupos no abelianos y anillos en el mencionado artículo . Hay muchos ejemplos dispersos, pero para los grupos abelianos el teorema de la estructura permite dar una respuesta general a cuáles son $\mathcal{P}$ bajo ambas reglas de juego:

Si $A$ es un grupo abeliano finitamente generado, entonces

• $A$ es una normal $\mathcal{P}$ -si y sólo si $A$ es un cuadrado, es decir $A \cong B^2$ para algún grupo abeliano $B$ .
• $A$ es una misère $\mathcal{P}$ -si y sólo si $A$ es un cuadrado, pero no abeliano elemental de dimensión par, o abeliano elemental de dimensión impar.

Answer 3

La idea de una jerarquía en los anillos noetherianos, como se sugirió anteriormente, es buena, pero no refleja la estructura del problema. Por ejemplo, no es necesario que un movimiento reduzca el "tipo" de un anillo (sin embargo, de la definición se desprende que un movimiento no puede reducir el tipo en más de 1). Por ejemplo, el anillo $\mathbb{C}[x,y] / (x^2 + y^2-1)$ es de "tipo 1" (como se indica en el post original). Si modificamos por $x$ obtenemos el anillo $\mathbb{C}[y]/(y^2 - 1)$ que también es de "tipo 1".

Tampoco está claro (¡en absoluto!) que un movimiento óptimo "deba" disminuir el "tipo" en 1 si es posible.

---

He aquí una idea diferente que resuelve esta cuestión y crea una jerarquía de anillos noetherianos preservando una estructura de "ganar/perder":

En primer lugar, cambiar ligeramente el juego original para que son se permite el mod out por un elemento de la unidad y las condiciones de victoria pasan a ser "el primer jugador que pase a su oponente el anillo cero pierde" [este juego es el mismo que el original].

Entonces construimos el siguiente grafo acíclico dirigido rooteado, $G$ :

• Los vértices de $G$ son el "conjunto" de anillos noetherianos, donde dos anillos son el mismo vértice si son isomorfos [para discutir siquiera esta colección de clases de isomorfismo se requiere el axioma de elección, y probablemente es demasiado grande para ser llamado conjunto, pero no creo que eso sea demasiado importante].

• Las aristas dirigidas de $G$ es que dibujas un borde de $R$ a $S$ si hay algún $0 \neq r \in R$ tal que $S \cong R/(r)$ [es decir, si un jugador puede llegar a $S$ de $R$ en un solo movimiento].

Entonces el gráfico $G$ es acíclico y tiene raíz (con raíz $0$ ) ya que cualquier camino en este grafo debe tener una longitud finita que termine en 0 (ya que todos los anillos son noetherianos).

Por último, para analizar el juego, basta con marcar cada vértice como "victoria para el jugador 1" o "victoria para el jugador 2" de la forma habitual.

---

Aspectos a tener en cuenta

• Creo que el "tipo" de anillo, $R$ como se definió anteriormente es sólo la longitud del camino más corto desde $R$ a un campo.

• ¿Hasta qué punto podemos determinar algorítmicamente (trozos de) el gráfico $G$ ?

• Si por arte de magia nos dieran el gráfico $G$ ¿hasta qué punto podemos utilizarlo para determinar algorítmicamente quién gana en cada caso?

-Pat Devlin