Si tiras 8 veces un dado justo, ¿cuántos resultados hay para que cada lado se produzca al menos una vez?

Question

He intentado la inclusión-exclusión.

Hay $6^{8}$ resultados posibles, restar los que sólo tienen 5 resultados, sumar los que tienen 4 resultados... Hay $\binom{6}{5}$ formas de elegir aquellas con 5 resultados, $\binom{6}{4}$ para elegir aquellos con 4 resultados...

así que la respuesta es $\binom{6}{1}^8 - \binom{6}{5}\binom{5}{1}^8+\binom{6}{4}\binom{4}{1}^8-...$

¿Puede alguien decirme por qué está mal?

Answer 1

Utilice inclusión/exclusión principio:

• Incluya el número de resultados con un máximo de $6$ valores, que es $\binom66\cdot6^8$
• Excluye el número de resultados con un máximo de $5$ valores, que es $\binom65\cdot5^8$
• Incluya el número de resultados con un máximo de $4$ valores, que es $\binom64\cdot4^8$
• Excluye el número de resultados con un máximo de $3$ valores, que es $\binom63\cdot3^8$
• Incluya el número de resultados con un máximo de $2$ valores, que es $\binom62\cdot2^8$
• Excluye el número de resultados con un máximo de $1$ valores, que es $\binom61\cdot1^8$

Así que el número total de resultados deseados es:

$$\binom66\cdot6^8-\binom65\cdot5^8+\binom64\cdot4^8-\binom63\cdot3^8+\binom62\cdot2^8-\binom61\cdot1^8=191520$$

Answer 2

Aquí hay un enfoque diferente para ello. Así que los conjuntos que se nos permiten son de la forma $$1\,2\,3\,4\,5\,6\,a\,b$$ donde $a$ y $b$ son cualquier valor de los dados. Ahora vamos a hacer combinaciones y permutarlas. Si $a=b$ entonces tenemos una cadena de 8 números con un dígito repetido tres veces, que tiene un número total de permutaciones $\frac{8!}{3!}$ . Si $a\neq b$ entonces tenemos una cadena de 8 números con dos dígitos repetidos dos veces cada uno, que tiene un número total de permutaciones $\frac{8!}{2!2!}$ . Hay 6 combinaciones tales que $a=b$ y 15 combinaciones tales que $a\neq b$ . Con esta información, el número de permutaciones en las que cada número aparece al menos una vez es $$6\cdot\frac{8!}{3!}+15\cdot\frac{8!}{2!\,2!}=191520$$