Prueba de convergencia en la serie $\sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2n+n^3}{3-4n}\right)^n$

Question

Quiero mostrar, que $a:=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{2n+n^3}{3-4n}\right)^n$ no es convergente, porque $\lim \limits_{n \to \infty}(a)\neq 0 \; (*)$ . Por lo tanto, la serie no puede ser convergente absoluta también.

En primer lugar, intento simplificar el término. Después quiero encontrar el límite.

Desafortunadamente, no puedo encontrar ninguna ecuación buena con la que pueda mostrar claramente $(*)$ . \begin{align} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{2n+n^3}{3-4n}\right)^n&=\left (\dfrac{\not{n}\cdot (2+n^2)}{\not n \cdot (\frac{3}{n}-4)}\right)^n\\ &=\left(\dfrac{2+n^2}{\frac 3n-4}\right)^n\\ &= \cdots \end{align}

¿Cómo seguir?

Answer 1

Estoy un poco confundido por tu elección de notación pues parece que escribes que una serie diverge si su límite no es $0$ lo que no es cierto. Así que creo que quieres decir que queremos demostrar que

$$\frac{(2n+n^3)^n}{(3-4n)^n}\not\rightarrow 0$$

como $n\rightarrow \infty$ ya que esto implica que la serie no converge. Obsérvese también que

$$\left(\frac{2+n^2}{3/n-4}\right)^n\neq \frac{2^n+n^{2n}}{3^n\cdot (1/n)^n-4^n}$$

véase https://en.wikipedia.org/wiki/Freshman%27s_dream

En cambio, ¿qué puede decir sobre

$$\frac{2n+n^3}{3-4n}\rightarrow ?$$

como $n\rightarrow \infty$ ?

Answer 2

Recordemos que

$$\sum_0^\infty a_n <\infty \implies a_n \to 0$$

Por lo tanto, si $a_n \not \to 0$ la serie no puede converger.

En ese caso para $n\ge 3$ tenemos

$$\left|\dfrac{2n+n^3}{3-4n}\right|=\dfrac{2n+n^3}{4n-3}>\dfrac{n^3}{4n}=\frac{n^2}4\ge2$$

y luego

$$|a_n|=\left|\dfrac{2n+n^3}{3-4n}\right|^n\ge 2^n$$

Consulte también lo relacionado:

• ¿La serie $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\ln(n)$ ¿convergen o divergen?

Answer 3

$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\underbrace{\dfrac{2n+n^3}{3-4n}}_{a_n}\right)^n$

Prueba de la raíz: Prueba: $\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\mid a_n \mid}<1 \implies a_n \text{ is absolute converging.}$

\begin{align} &\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \dfrac{2n+n^3}{3-4n}\right)^n} \\ =&\lim \limits_{n \to \infty}=\frac{2n+n^3}{3-4n}\\ =&\lim \limits_{n \to \infty}=\dfrac{n(n^2+2)}{n(\frac 3n-4)}\\ =&\lim \limits_{n \to \infty}=\dfrac{\overbrace{n^2+2}^{\infty}}{\underbrace{\frac 3n-4}_{0}}\\ =&\lim \limits_{n \to \infty}(a_n)=\infty\\& \implies a_n \text{ and } \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{2n+n^3}{3-4n}\right)^n \text{ are not absolute convergent.} \end{align}

Acabo de darme cuenta de que esto sólo demostraría la convergencia absoluta y no la convergencia.

Answer 4

Dejemos que $n \ge 4$ .

$|a_n|:=\left |\dfrac{n^3+2n}{4n-3}\right |^n \gt$

$\left (\dfrac{n^3}{4n}\right )^n \ge n^n.$

$\lim_{n \rightarrow \infty} |a_n| \not = 0$ .

Por lo tanto, la serie no converge.