Deducción de la segunda ley de Newton a partir del principio de mínima acción

Question

Estoy leyendo las ecuaciones diferenciales de Simmons y me encuentro con que tengo que obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange del siguiente integrando (integrando del funcional de acción):

$L = \frac 1 2 m \Big\lbrace \Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\frac{dy}{dt}^2\Big)+\Big(\frac{dz}{dt}\Big)^2 \Big\rbrace - V(x,y,z)$

el texto afirma que las ecuaciones de Euler-Lagrange son:

$m\Big(\frac{d^2x}{dt^2}\Big)+\frac{\partial V}{dx} = 0$

$m\Big(\frac{d^2y}{dt^2}\Big)+\frac{\partial V}{dy} = 0$

$m\Big(\frac{d^2z}{dt^2}\Big)+\frac{\partial V}{dz} = 0$

Estoy tratando de ver cómo esto se mantiene de Lista de ecuaciones de Euler-Lagrange de Wikipedia . Creo que mi caso corresponde a 'Varias funciones de una sola variable con una sola derivada'.

Pero allí encuentro esta anotación $\frac{\partial L}{\partial f_i} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f_i'}$ donde $f_i' = \frac{df_i}{dx}$ . La correspondencia con mi ejemplo es $x \to t$ y $f_1 \to x,f_2 \to y,f_3 \to z$ .

Qué hace exactamente, $\frac{\partial L}{\partial f_i}$ y $\frac{\partial L}{\partial f_i'}$ para poder obtener las ecuaciones anteriores?

Answer 1

Gracias al comentario de @Arthur llegué a estos cálculos:

$\frac{\partial L}{\partial x'} = \frac{d}{dt}\Big(m \frac{dx}{dt} \Big) = m \frac{d^2x}{dt^2}$

$\frac{\partial L}{\partial x} = - \frac{\partial V}{\partial x}$

Así,

$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial x'} = - \frac{\partial V}{\partial x} - m \frac{d^2x}{dt^2} = 0$

o, de forma equivalente, la ecuación

$m\Big(\frac{d^2x}{dt^2}\Big)+\frac{\partial V}{dx} = 0$

Por la diferencia entre $\partial$ y $d$ Me refiero a este .