Si $H,K$ son subgrupos de $G$ y $G$ es finito, demuestre que $[K\colon (H\cap K)]\leq [G\colon H]$

Question

Dejemos que $H,K$ sean subgrupos de un grupo finito $G$ . Demostrar que $[K\colon (H\cap K)]\leq [G\colon H]$ .

Esto es lo que tengo:

$[K\colon (H\cap K)] = |\left\{ a(H\cap K) \mid a\in K\right\}|$

$[G\colon H] = |\left\{ bH \mid b\in G\right\}|$

Siguiendo esta dirección, estaba pensando que podría definir una función inyectiva para mapear los cosets de $(H\cap K)$ a los cosets de $H$ . Sin embargo, tengo problemas para pensar en ello.

También lo reconozco:

$[K\colon (H\cap K)]$ = $|K|\over|(H\cap K)|$

$[G\colon H]$ = $|G|\over|H|$

y también que el orden de $(H\cap K)$ divide ambos $|H|$ y $|K|$ .

No estoy seguro de cómo abordar esto.

Answer 1

Dejemos que $\mathcal{S}=\{x(H \cap K): x \in K\}$ el conjunto de cosetas izquierdas del subgrupo $H \cap K$ en $K$ . Sea $\mathcal{T}=\{gH : g \in G\}$ el conjunto de cosets izquierdos de $H$ en $G$ . Vamos a definir un mapa $f : \mathcal{S} \rightarrow \mathcal{T}$ , por $f(x(H \cap K))= xH$ . Tenemos que demostrar dos cosas: el mapa está bien definido (no depende de un representante particular del coset) y el mapa es inyectivo.

Para la primera: suponga que $x(H \cap K)=y(H \cap K)$ con $x, y \in K$ . Entonces $x^{-1}y \in H \cap K$ Así que, en particular $x^{-1}y \in H$ . Esto da $xH=yH$ y $f$ está bien definida.

Supongamos que $f(x(H \cap K))=f(y(H \cap K))$ para algunos $x,y \in K$ . Entonces $xH=yH$ . Esto equivale a $x^{-1}y \in H$ . Pero como $K$ es un subgrupo, también $x^{-1}y \in K$ . Así que $x^{-1}y \in H \cap K$ y esto da como resultado $x(H \cap K)=y(H \cap K)$ . Así que $f$ es inyectiva.