representación integral del contorno de la fórmula de interpolación de lagrange

Question

Cómo puedo demostrar que si los nodos de interpolación son números complejos $a_1,a_2,...,a_n$ y se encuentran en algún dominio $G$ delimitado por un contorno suave a trozos $\gamma$ y si $f$ es una función analítica de un solo valor definida en el cierre de $G$ entonces la fórmula de interpolación de Lagrange tiene la forma $$L_n(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{\omega (\zeta) - \omega(z)}{\zeta - z} \frac{f(\zeta)}{\omega(\zeta)} d\zeta,$$ donde $$\omega(\zeta)=\prod_{k-1}^n (\zeta - a_i). $$

Sé que puedo utilizar la fórmula integral de Cauchy, pero estoy abastecido para un tiempo bastante largo. ¡gracias!

Answer 1

Pues bien, la fórmula de interpolación ordinaria es cierta incluso en $\mathbb{C} $ donde tienes la siguiente fórmula (usando tu notación) $$ L_n (z) = \sum_{i = 1}^n \frac{\omega(z)f(a_i)}{(z-a_i)\omega'(a_i)} $$ Ahora ves que para la analítica $ F $ y $G$ con un simple cero de $G$ en $ z_0 $ tienes el residuo como $ Res( F/G, z_0) = F(z_0)/G'(z_0) $ . Obsérvese que para un $z\in \mathbb{C} $ la función de $ \zeta $ dado por $ (\omega(\zeta)-\omega(z))/(\zeta -z) $ es analítica ( tiene una singularidad removible con $\omega'(z) $ en $ \zeta = z $ por lo que se sustituye $$ F(\zeta ) = \frac{(\omega(z)-\omega(\zeta))f(\zeta)}{z-\zeta},\ \ \ \ G(\zeta) = \omega(\zeta) $$ como $ a_i$ son ceros simples de $\omega $ obtenemos directamente del teorema del residuo que para $ z \neq a_i \ \ \forall i$ $$ \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{(\omega(\zeta)-\omega(z))f(\zeta)}{(\zeta-z)\omega(\zeta)}d\zeta = \sum_{i=1}^n Res\Big(\frac{F}{G},a_i\Big) = \sum_{i = 1}^n \frac{\omega(z)f(a_i)}{(z-a_i)\omega'(a_i)} = L_n(z) $$