Espacio vectorial, combinación lineal y campo vectorial

Question

Acabo de aprender sobre el espacio vectorial y quiero asegurarme de que entiendo bien el concepto.

1. El espacio vectorial/espacio lineal es un tipo de espacio en el que hay vectores, formados o vectores base que coinciden con las coordenadas del espacio vectorial.

2.'Espacio vectorial sobre un campo' significa que los vectores (formados por vectores base que coinciden con las coordenadas del espacio vectorial) se escalan por un escalar en un campo (un conjunto de elementos con operaciones algebraicas). El valor/expresión de la combinación lineal de todos los vectores describe, pues, las características del espacio vectorial?

3. ¿Es esta descripción de combinación lineal de un espacio vectorial el campo vectorial, cuyos valores están definidos por el campo escalar?

Soy bastante nuevo en el campo de las matemáticas, así que quiero asegurarme de que entiendo lo básico.

Answer 1

1.

Parece que estás tratando de entender los espacios vectoriales por primera vez a partir de múltiples fuentes a la vez, lo que no recomendaría. Dependiendo del libro/introducción:

• Los espacios podrían llamarse "espacio vectorial" o "espacio lineal"
• Los espacios vectoriales pueden tener siempre una colección de "vectores base" o no necesariamente.
• Los vectores en un espacio vectorial pueden escribirse siempre con coordenadas, a veces con coordenadas o no siempre posible que se escriba con coordenadas.

Como DonAntonio al que se alude en un comentario En cuanto a los textos, te recomiendo que consigas un texto fuente (ya sea en línea o no) y que trabajes con el principio del mismo. Luego puedes aprender lo que es similar/diferente de los diferentes tratamientos.

2.

No estoy seguro de qué es exactamente lo que afirmas aquí, así que no sé cómo responder, pero la "combinación lineal de todos los vectores" no es algo que se plantee habitualmente.

Brevemente, un campo es un montón de números, como los números reales $\mathbb R$ . Un "espacio vectorial sobre un campo" significa que se pueden escalar los vectores mediante números (llamados "escalares") en ese campo.

Una "combinación lineal" sólo significa una suma de vectores a escala. Como si $\mathbf x$ y $\mathbf y$ y $\mathbf z$ son vectores, entonces $\mathbf x+2*\mathbf y-3*\mathbf z$ es una combinación lineal de esos tres vectores.

Las características de un espacio vectorial no están formalmente definidas, pero yo diría que dependen, al menos en parte, de qué vectores son iguales a combinaciones lineales de qué otros vectores.

3.

El uso de "campo" en " campo vectorial " y " campo escalar " es desgraciadamente completamente diferente del uso de "campo" en "espacio vectorial sobre un campo ".