En un grupo compacto de mentira, ¿pueden dos subgrupos cerrados conectados generar un subgrupo no cerrado?

Question

Dejemos que $H$ , $K$ sean subgrupos cerrados y conectados de un grupo de Lie compacto $G$ . Dejemos que $L:=\langle H,K \rangle$ sea el subgrupo que generan, es decir, el subgrupo más pequeño de $G$ que contiene a ambos. Debe $L$ ¿se cerrará?

Notas:

1. Falso si $G$ no es compacto.

2. Falso si $H$ , $K$ no conectado: considere dos $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ subgrupos en $O(2)$ generados por las reflexiones en ejes irracionales.

¿Hay alguna forma de elevar (2) a un contraejemplo conectado, por ejemplo?

Answer 1

El subgrupo abstracto generado por $H$ y $K$ está cerrado.

Podemos suponer que $G$ está conectado. Los grupos $G$ , $H$ , $K$ son los grupos de puntos reales de los grupos algebraicos reales $\mathbf{G}$ , $\mathbf{H}$ , $\mathbf{K}$ . Dejemos que $\frak g$ , $\frak h$ , $\frak k$ sean sus álgebras de Lie. Las complejidades ${\frak g}_{\Bbb C}$ , ${\frak h}_{\Bbb C}$ , ${\frak k}_{\Bbb C}$ son álgebras de Lie algebraicas, es decir, álgebras de Lie de grupos algebraicos complejos. Sea ${\frak l}_{\Bbb C}$ sea la subálgebra de Lie de ${\frak g}_{\Bbb C}$ generadas por subálgebras de Lie ${\frak h}_{\Bbb C}$ y ${\frak k}_{\Bbb C}$ . Nos remitimos al libro: Onishchik, A. L.; Vinberg, È. B.: Grupos de Lie y grupos algebraicos, Springer-Verlag, Berlín, 1990. Por el teorema 3.3.2 de este libro la subálgebra de Lie ${\frak l}_{\Bbb C}$ es algebraico, es decir, es el álgebra de Lie de un único subgrupo algebraico complejo conectado $\mathbf{L}_{\Bbb C}\subset \mathbf{G}_{\Bbb C}$ . Claramente $\mathbf{L}_{\Bbb C}$ se define sobre $\Bbb R$ es decir, proviene de algún subgrupo algebraico real subgrupo algebraico $\mathbf{L}\subset \mathbf{G}$ . Establecer $L=\mathbf{L}(\Bbb R)$ . Desde $\mathbf{L}$ es conexo y compacto, el grupo de puntos reales $L$ está conectado, véase Onishchik y Vinberg, Corolario 1 del Teorema 5.2.1. El álgebra de Lie $\frak l$ de $L$ está generada por las subálgebras $\frak h$ y $\frak k$ . Desde $H$ y $K$ están conectados, $\mathbf{L}$ contiene $\mathbf{H}$ y $\mathbf{K}$ , y $L$ contiene $H$ y $K$ .

Dejemos que $L'$ denota el subgrupo abstracto generado por $H$ y $K$ está contenida en $L$ . Dado que el álgebra de Lie $\frak l$ es generado por $\frak h$ y $\frak k$ se puede ver fácilmente que para cualquier elemento $A\in \frak l$ existe un mapa suave $\varphi$ de un intervalo $(-\varepsilon, \varepsilon)$ a $L$ con la imagen contenida en $L'$ y tal que $d\varphi|_0=A$ . De ello se desprende que $L'$ contiene una vecindad abierta de $1$ en $L$ . Desde $L$ está conectado, vemos que $L'=L$ . Así, el subgrupo abstracto $L'$ generado por $H$ y $K$ está cerrado.

Answer 2

Tal vez sea útil formular una versión algo diferente de la respuesta de Mikhail, desde el punto de vista del desarrollo de Borel-Tits de los grupos algebraicos reductores sobre un campo arbitrario. Cuando el campo es $\mathbb{R}$ De esta forma se recupera gran parte de la estructura básica de los grupos de Lie, incluida la estructura de los grupos de Lie compactos conectados: un grupo de este tipo es siempre el grupo de puntos reales de un grupo algebraico reductor conectado sobre $\mathbb{C}$ . (El libro de Onishchik y Vinberg recoge gran parte de la información, pero a costa de dejar la mayoría de las pruebas como ejercicios estructurados y de trabajar siempre sobre un campo base de característica 0. Las ideas principales para los grupos algebraicos funcionan con mucha más generalidad).

En la primera parte del libro de Borel Grupos algebraicos lineales se encuentra en I.2.2 una formulación general que implica en particular que la respuesta a la pregunta formulada aquí es afirmativa. (En efecto, $L$ está conectado además de cerrado). El tratamiento en el apartado 7.5 de mi libro con el mismo título es un poco más explícito, pero no se refiere a los campos de definición, ya que éstos se posponen al final del libro. Que yo sepa, no hay ninguna formulación completamente explícita para los grupos de Lie compactos en la literatura de los libros de texto, aunque espero equivocarme.

Desgraciadamente, no parece haber ningún libro de texto sobre la estructura de los grupos de Lie compactos, aunque la teoría de la representación se trata, por ejemplo, en el GTM de Springer de Brocker y tom Dieck. En su lugar, los grupos de Lie compactos suelen tratarse como casos especiales de grupos de Lie más generales en libros más amplios.