Aplicación del formalismo lagrangiano a un sistema de caída de partículas con resistencia al aire

Question

Tengo este problema, con una resolución de primer paso:

Obtener la ecuación del movimiento de una partícula que cae verticalmente bajo la influencia de la gravedad cuando las fuerzas de rozamiento se obtienen a partir de una función de disipación $\frac12kv^2$ están presentes. Integre la ecuación para obtener la velocidad en función del tiempo y demuestre que la máxima velocidad posible para una caída desde el reposo es $v+mg/k$ .

Respuesta:

Trabaja en una dimensión y utiliza el lagrangiano más sencillo posible: $$ L = \frac 12 m \dot z^2 - mgz$$ Con función de disipación: $$ F=\frac 12 k \dot z^2 $$ La formulación lagrangiana es ahora: $$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot z} - \frac{\partial L}{\partial z} + \frac{\partial F}{\partial \dot z} = 0 $$

Así que, no sé por qué ponen el término $\frac{\partial F}{\partial \dot{z}}$ en las ecuaciones de Lagrange. ¿Por qué? Sé que el Función de disipación de Rayleigh no es una fuerza conservadora, pero no sé por qué la derivación parcial. Para las restricciones holonómicas necesitamos derivar parcialmente la función de la restricción $f=0$ con el fin de $q$ la coordenada generalizada: $\frac{\partial f}{\partial{q}}$ . Y lo introducimos en la ecuación de Lagrange multiplicada por el multiplicador de Lagrange $\lambda$ en el lado derecho.

Pero aquí tenemos algún tipo de restricción con una velocidad $\dot{z}$ dependencia. Por eso hay que poner el término $\frac{\partial F}{\partial \dot{z}}$ en las ecuaciones de Lagrange? Pero el término no es nulo y no tenían el multiplicador de Lagrange, así que ¿es cierto que no está relacionado con el formalismo de las restricciones?

Answer 1

Yo diría que este ejercicio en particular no tiene nada que ver con las restricciones, porque la existencia de una fuerza de disipación no te está dando ningún tipo de restricción en las coordenadas - es decir, ciertamente no es holonómica ya que no elimina ningún grado de libertad del problema. Es sólo más información sobre cómo se comporta el sistema a lo largo de la única coordenada que lo describe - z, en este caso.

La función de disipación es un poco como un potencial. Si tu partícula sólo estuviera influenciada por la fuerza gravitatoria, dirías que $L=T-U$ donde $U$ es el potencial gravitatorio y las ecuaciones de Euler-Lagrange serían las normales. Pero al tener una fuerza de fricción, las ecuaciones de Euler-Lagrange se convierten: \begin{equation} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} - \frac{\partial L}{\partial z}=Q_j \end{equation}

donde $Q_j$ es la fuerza generalizada y se puede demostrar por su definición a partir del principio de D'Alembert que $Q_j=-\frac{ \partial F}{ \partial \dot{z}}$ en este caso concreto. De hecho, si tienes una función de disipación, esa es siempre la forma de tus ecuaciones, creo.