Marginalización parcial de la probabilidad condicional

Question

Estaba leyendo sobre la marginación en Wikipedia , específicamente leí:

$$p_X(x) = \int_y p_{X\mid Y}(x\mid y)p_Y(y)\,dy$$

Me preguntaba si lo siguiente es cierto

$$\int_y p_{X\mid YZ}(x\mid y,z)p_Y(y) \, dy = p_{X\mid Z}(x\mid z)$$

$X, Y$ y $Z$ son variables aleatorias, con pdf-s $p_X$ , p $_Y$ y $p_Z$ respectivamente.

Answer 1

Sólo si ${p}_{\lower{0.5ex}{Y}}(y)={p}_{\lower{0.5ex}{Y\mid Z}}(y\mid z)$

Por la ley de la probabilidad total:

$${p}_{\lower{0.5ex}{X\mid Z}}(x\mid z) =\int_{\Bbb R} {p}_{\lower{0.5ex}{X\mid Y,Z}}(x\mid y,z)~{p}_{\lower{0.5ex}{Y\mid Z}}(y\mid z) \,\mathrm{d}y$$

Sin embargo, si $Y$ y $Z$ son independientes entre sí, entonces sí: $${p}_{\lower{0.5ex}{X\mid Z}}(x\mid z) =\int_{\Bbb R} {p}_{\lower{0.5ex}{X\mid Y,Z}}(x\mid y,z)~{p}_{\lower{0.5ex}{Y}}(y) \,\mathrm{d}y$$