Estaba leyendo el libro de Kreyszig sobre análisis funcional cuando me encontré con este teorema:
"Dejemos $T\in{}B(X,X)$ , donde $X$ es un espacio de Banach. Si $||T||<1$ entonces $(I-T)^{-1}$ existe como un operador lineal acotado en el todo espacio $X$ y $(I-T)^{-1}= \sum_{i=0}^{\infty}T^{i}=I+T+T^{2}+...$ "
Esta es mi pregunta:
El libro demostró este teorema al mostrar que la serie $\sum_{i=0}^{\infty}T^{i}$ converge absolutamente, por lo que está correctamente definido como operador, y que $(I-T)(I+T+T^{2}+...T^{n}) \to I$ como $n\to\infty$ .
Pero, ¿cómo puedo demostrar que el operador $(I-T)$ es inyectiva en primer lugar? ¿Y por qué podemos decir que $(I-T)^{-1}$ existe en el todo $X$ (lo que creo que requeriría la subjetividad de $(I-T)$ )?
