¿Puede tener sentido, en general, tomar un cociente por múltiples ideales?

Question

Me parece que es una pregunta bastante tonta, derivada de un malentendido fundamental de los cocientes, pero no soy capaz de precisarla. Mi pregunta es: dados dos ideales $\mathfrak{a,b}\subseteq R$ donde $R$ es algún anillo conmutativo, ¿podemos en general dar sentido a un cociente $(R/\mathfrak a)/\mathfrak b$ ?

Por ejemplo, considere $R=k[x,y]$ . El anillo $(R/(x))/(y)\cong k[y]/(y)\cong k$ obviamente tiene sentido.

Otro ejemplo puede ser $R=\mathbb Z$ con ideales $(2),(4)$ . Entonces, si Si tuviéramos que dar algún significado a estos cocientes, entonces podríamos escribir $(\mathbb Z/(2))/(4)\cong\mathbb Z/(2)$ ya que, en cierto sentido, cuando tomamos el segundo cociente ya hemos "recortado la información relevante sobre $\mathbb Z$ " cotizando por $(2)$ .

Mi primera pregunta: ¿tiene algo de sentido todo esto? En particular, ¿puede $(4)$ incluso ser considerado un ideal de $\mathbb Z/(2)$ ?

Mi segunda pregunta: si la respuesta a lo anterior es positiva, y tengo ideales $\mathfrak b\subseteq\mathfrak a\subseteq R$ entonces puedo demostrar que $(R/\mathfrak a)/\mathfrak b\cong R/\mathfrak b$ ¿Generalizar el segundo ejemplo? Si estas ideas tienen sentido, tendría que construir equivalentemente $\phi:R/\mathfrak a\to R/\mathfrak b$ con núcleo $\mathfrak b$ .

Finalmente, mi motivación viene del ejercicio 1.8 de Hartshorne: en la solución, tenemos alguna variedad afín $Y$ de dimensión $r$ y un ideal $\mathfrak p$ correspondiente a la intersección de $Y$ con una hipersuperficie no trivial - terminamos demostrando $\dim A(Y)/\mathfrak p = r-1$ y quieren concluir que la variedad asociada a $\mathfrak p$ tiene dimensión $r-1$ . Por lo tanto, tendríamos que mostrar $\dim (A/I(Y))/\mathfrak p=\dim A(Y)/\mathfrak p$ que se desprendería de la segunda pregunta, sin embargo todas las soluciones que he visto consideran esto como un paso en cierto modo trivial.

Answer 1

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo y considere tres $R$ -módulos $A \subseteq B \subseteq C$ . Entonces $B/A \subseteq C/A$ y tenemos lo siguiente

Propuesta. $(C/A) \big/ (B/A) \simeq C/B$ .

Prueba. Dejemos que $\varphi \colon C/A \to C/B$ sea el mapa definido (en los cosets) por $\varphi(x + A) = x + B$ . Entonces $\varphi$ es un homomorfismo de módulo bien definido con núcleo $B/A$ por lo que la afirmación se mantiene gracias al primer teorema de isomorfismo.

En particular, un ideal es un $R$ -módulo contenido en $R$ , por lo que esto se aplica a cualquier cadena de ideales $I \subseteq J \subseteq R$ También.

Cabe destacar que también tenemos lo siguiente

Propuesta. Si $A,B$ son dos submódulos de un $R$ -Módulo $C$ entonces $$ (A+B)/A \simeq B/(A \cap B) $$ Prueba. El morfismo de módulo compuesto $B \to A+B \to (A+B)/A$ es suryente y tiene un núcleo $A \cap B$ por lo que la afirmación se desprende del primer teorema de isomorfismo.

De nuevo, esto es válido en particular para dos ideales cualesquiera $I,J$ de $R$ .

Answer 2

Creo que el comentario de Darij Grinberg merece una respuesta. La respuesta de A.P. aborda implícitamente tu segunda pregunta, pero el comentario de Grinberg aborda tus dos preguntas, explícitamente.

Sí, sus ideas tienen sentido. Aquí está explícitamente cómo:

Cuando se toma un cociente de $R$ por un ideal $\mathfrak{a}$ se obtiene automáticamente un homomorfismo (el "homomorfismo canónico") de $R$ al anillo de cociente $R/\mathfrak{a}$ . Llámalo $\pi: R\rightarrow R/\mathfrak{a}$ .

La cuestión es que $\pi$ mapas $\mathfrak{b}$ a un ideal $\pi(\mathfrak{b})$ en $R/\mathfrak{a}$ . A esto se refería Michael Burr en su comentario. Darij lo escribió como $\mathfrak{b}\cdot (R/\mathfrak{a})$ . (Esta notación proviene de lo relativo a $R/\mathfrak{a}$ como $R$ -).

Este ideal se llama "pushforward" de $\mathfrak{b}$ . (Atiyah-Macdonald lo llaman la "extensión".) Es $\mathfrak{b}$ en el cuadrilátero $R/\mathfrak{a}$ .

Por lo tanto, ahora se puede tomar el anillo de cociente de $R/\mathfrak{a}$ por este ideal $\pi(\mathfrak{b})$ . Así se toma el cociente por dos ideales.

Además, por un teorema no profundo, el anillo que se obtiene es isomorfo a si se acaba de tomar el cociente de $R$ por el ideal $\mathfrak{a} + \mathfrak{b}$ en primer lugar:

$$\frac{R/\mathfrak{a}}{\pi(\mathfrak{b})} \cong \frac{R}{\mathfrak{a}+\mathfrak{b}}$$

Esto es esencialmente una consecuencia del Teorema 1 de A.P., con $C=R$ , $B = \mathfrak{a} + \mathfrak{b}$ y $A = \mathfrak{a}$ . El único trabajo es ver que $\pi(\mathfrak{b}) = (\mathfrak{a}+\mathfrak{b})/\mathfrak{a}$ . También hay que pensar un poco en por qué el teorema (que está formulado en términos de módulos) también da un isomorfismo de anillo si $C$ es un anillo y $A,B$ son ideales.

Lo bonito de este teorema es que demuestra que se obtiene lo mismo si se hace un cociente de $\mathfrak{a}$ primero o $\mathfrak{b}$ porque $R/(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})$ es simétrico en los dos.