Expansión de la inversa de la suma de dos matrices

Question

Tengo dos matrices hermitianas pd invertibles $A$ y $B$ y un número real positivo $t$ . Qué es, $$(A+tB)^{-1}=?$$ en términos de poderes de $A$ , $B$ y $t$ .

Answer 1

Tenga en cuenta la siguiente identidad:

$$(A + tB)^{-1} = (A(I + tA^{-1}B))^{-1} = (I + t A^{-1}B)^{-1} A^{-1}$$

Suponiendo que $t$ es suficientemente pequeño, ahora se puede aplicar la serie binomial: $$(I + tX)^{-1} = \sum \limits_{i = 0}^\infty (-tX)^{i}$$

Answer 2

Lo mejor que podemos hacer es lo siguiente. Dejemos que $M$ denota cualquier matriz para la que $A^{-1} = M^*M$ . Podemos entonces escribir $$(A + tB)^{-1} = (M^{-*}[I + t(M^*BM)]M^{-1})^{-1} = M(I + t(M^*BM))^{-1}M^*$$ Ahora, dejando $C = M^*BM$ calculamos $$(I + tC)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^kt^kC^k$$ siempre que $t \leq \|C\|$ .

Answer 3

No hay realmente una buena manera de hacer esto en general. Si la suma converge, que probablemente no lo hará, puedes hacer $$(1+tA^{-1}B)^{-1}A^{-1}=(\sum_{n=0}^\infty (-tA^{-1}B)^n)A^{-1}$$