Tengo dos matrices hermitianas pd invertibles $A$ y $B$ y un número real positivo $t$ . Qué es, $$(A+tB)^{-1}=?$$ en términos de poderes de $A$ , $B$ y $t$ .
Respuestas
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Jukka Dahlbom
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Lo mejor que podemos hacer es lo siguiente. Dejemos que $M$ denota cualquier matriz para la que $A^{-1} = M^*M$ . Podemos entonces escribir $$ (A + tB)^{-1} = (M^{-*}[I + t(M^*BM)]M^{-1})^{-1} = M(I + t(M^*BM))^{-1}M^* $$ Ahora, dejando $C = M^*BM$ calculamos $$ (I + tC)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^kt^kC^k $$ siempre que $t \leq \|C\|$ .
Matt Samuel
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