¿Por qué los toros KAM dividen el espacio de fase en partes disjuntas en $d\leq 2$ sistemas?

Question

Aquí $d$ es el grado de libertad. No es el caso cuando $d \geq 3$ ? ¿Alguien puede dar una explicación intuitiva?

Cuando $d =2$ El espacio de fase es de 4 dimensiones. Los tori son bidimensionales. En este caso, ¿un toroide divide necesariamente el espacio de fase en dos partes disjuntas? Es el caso cuando el espacio ambiental es tridimensional, obviamente.

Answer 1

No dividen el espacio de fase en partes disjuntas. Más bien, dividen el conjunto de niveles de un sistema hamiltoniano en partes disjuntas, impiden la posibilidad de difusión de Arnold (trayectorias que se desvían arbitrariamente y experimentan un cambio significativo en la variable de acción).

El espacio de fase de un Hamiltoniano de 2 d.o.f. $H$ es cuatridimensional; las trayectorias se limitan a explorar el conjunto de niveles $M$ dado por $H=c$ . El conjunto de niveles es invariante y tridimensional. Por lo tanto, los toros KAM bidimensionales dividen efectivamente el conjunto de niveles tridimensional y las trayectorias están confinadas entre dos de estos conjuntos de niveles. Para $d>2$ la dimensión de $M$ es $2d-1 \geq 5$ y el $d$ -Los tori KAM de dimensiones ya no son un obstáculo para la difusión.