La preimagen del morfismo de frontera en la secuencia de Mayer-Vietoris

Question

Supongamos que $A$ y $B$ son subespacios abiertos puntuales y contraíbles de $X$ . La secuencia de Mayer-Vietoris implica que el morfismo de frontera $\delta: H_n(X)\to H_{n-1}(A\cap B)$ es un isomorfismo.

Me pregunto si $x$ es un $n-1$ -ciclo de $A\cap B$ ¿existe un algoritmo explícito para escribir su $n$ -ciclo de preimagen $\delta^{-1} x$ ?

Answer 1

Tome una contracción de $x$ en $A$ . Eso da una $n$ -cadena $y_A$ viviendo en $A$ cuyo límite es $x$ . Del mismo modo, una contracción de $x$ en $B$ da una $n$ -cadena $y_B$ , de nuevo con límite igual a $x$ . La preimagen deseada es $y_A - y_B$ .