Una infinidad de números primos de la forma $4n+3$

Question

He encontrado por lo menos otros 3 puestos de$^*$ respecto a este teorema, pero los mensajes no abordar los problemas que tengo.

A continuación es una prueba de que para un número infinito de números primos de la forma $4n+3$, hay un par de preguntas que tengo en la prueba que voy a marcar en consecuencia.

Prueba: Supongamos que hay sólo un número finito de números primos $p_1,\dots, p_k$, los cuales son de la forma $4n+3$. Deje $N = 4p_1\cdots p_k - 1$. Este número es de la forma $4n+3$ y tampoco es privilegiada ya que es más grande de todos los posibles números primos de la misma forma. Por lo tanto, es divisible por un primo $ \color{green}{ \text{(How did they get to this conclusion?)}}$. Sin embargo, ninguno de los $p_1,\dots, p_k$ brecha $N$. Así que cada prime que divide $N$ debe ser de la forma $4n+1$ $ \color{green}{ \text{(Why must it be of this form?)}}$. Pero aviso, cualquiera de los dos números de la forma $4n+1$ formar un producto de la misma forma, lo que contradice la definición de $N$. Contradicción. $\square$

A continuación, como una pregunta de seguimiento, el texto de la pregunta "¿por Qué una prueba de este tipo de errores para los números primos de la forma $4n+1$? $ \color{green}{ \text{(This is my last question.)}}$

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$^*$Implica congruencias, que no he aprendido todavía. La otra es una solución de verificación de tipo de pregunta. El último hace uso de un lexema que es en realidad una de mis preguntas, pero no era una pregunta en ese post.

Answer 1

Cada número $n>1$ es divisible por algunos de los mejores $p$ (que incluye el caso de $n=p$). Asumir lo contrario y deje $n$ ser el más pequeño tal número. Como esta $n$ no es primo, tiene un nontrivivial divisor $d$$1<d<n$. Por minimality de $n$, $d$ es divisible por algunos de los mejores $p$. Pero, a continuación, $p$ también se divide $n$.

Todos los números son de la forma $4n$, $4n+1$, $4n+2$, o $4n+3$. Esto también es cierto para los números primos $p$, pero $p=4n$ no es posible y $p=2n$$p=2$. Aquí, hemos excluido $p=2$ $p=4n+3$ por la construcción, lo que deja sólo los números primos $p=4n+1$.

Esta prueba falla por $p=4n+1$ debido a un número de la forma $4n+1$ bien puede ser el producto de dos números de la forma $4n-1$. Por ejemplo,$3\cdot 7=21$. Por lo tanto, el paso que al menos un divisor debe ser de la forma $4n+1$ falla.

Answer 2

Por lo tanto, es divisible por un primo (¿Cómo llegaron a esta conclusión?).

Todos los números enteros son divisible por algún primo!

Así que cada prime que divide a N debe ser de la forma 4n+1 (¿por Qué tiene que ser de esta forma?).

Porque hemos asumido que $p_1, \dots, p_k$ son sólo números primos de la forma 4n+3. Si ninguno de los que dividen a N, y 2 no divide a N, entonces todos sus factores primos debe ser de la forma 4n+1.

"¿Por qué una prueba de este tipo de errores para los números primos de la forma 4n+1? (Esta es mi última pregunta.)

Puede hacerlo usted mismo ahora? (¿Cómo entender la contradicción trabaja en la prueba de que usted tiene? ¿Qué sucede si se multiplican dos números de la forma 4n+3?)

Answer 3

Pregunta 1: Cualquier número entero es divisible por un primo (que en realidad ni siquiera necesita toda la fuerza de la única teorema de factorización; esto es comprobable por inducción).

Pregunta 2: no Es divisible por ninguno de los números primos de la forma $4n+3$ (es decir, $p_1,\ldots,p_k$, lo que estamos suponiendo que es de todos), y no es divisible por $2$ porque es impar. Por lo tanto, cualquier primer dividiendo debe ser de la forma $4n+1$.

Pregunta 3: la Multiplicación de un número par de cosas de la forma $4n+3$ juntos da algo de la forma $4n+1$.