la siguiente afirmación es verdadera o falsa: $\bigtriangledown f(x)$ siempre apunta en la misma dirección que $x-\hat{x}$ si $f(\hat{x})=0$

Question

Toma $f: \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}, f\geq0 \ \forall x \in \mathbb{R}^{n}$ . Una declaración en un ejercicio afirma lo siguiente:

dado un $x' \in \mathbb{R}^{n}$ , dejemos que $\hat{x}$ sea el punto más cercano a $x'$ Satisfaciendo a $f(\hat{x})=0.$ si $f$ es continuamente diferenciable, entonces el gradiente $\bigtriangledown f(\hat{x})$ siempre apunta en la misma dirección que $x' - \hat{x}$ .

Esto me parece mal, como si $f \geq 0\ \forall x$ entonces $\bigtriangledown f(\hat{x}) = 0$ . E incluso si eliminamos la condición $f \geq 0 \ \forall x$ , tomando $n=1, f=x$ con $x'=-1$ y $\hat{x}=0$ es un simple contraejemplo. ¿Me he perdido algo?

Answer 1

Tienes razón, y tus contraejemplos lo demuestran. La afirmación del ejercicio es falsa.

Answer 2

Sospecho que la afirmación puede ser una errata, y que está hablando de $\nabla (x')$ en lugar de $\nabla f (\hat{x})$ . Y "apuntar en la misma dirección" es claramente falso si se toma literalmente, pero supongamos que en su lugar significa "estar en el mismo semiespacio" (es decir, tener producto punto positivo).

Aun así, necesitarías más condiciones en $f$ para que esto sea cierto. Podría sugerir que se desechara ese texto.