¿Cómo encontrar la varianza de una expresión complicada?

Question

Tengo una ecuación dada por $$ \phi(k)=\sqrt{1-\rho^{2}}\sum_{j=1}^{k-1}\rho^{k-j-1}e(j) $$ donde $\rho$ tiene un valor entre 0 y 1 y $e$ se modela como $\mathcal{C}\mathcal{N}(0,\sigma^{2})$ es decir, una gaussiana compleja circularmente simétrica.

¿Cómo puedo calcular la varianza de dicha expresión?

Answer 1

Supongo que el OP se refiere a un Distribución normal compleja cuyas matrices de covarianza y relación son matrices de identidad. Para llegar al resultado utilizamos algunas propiedades; primero $\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$ , segundo que las matrices de covarianza y relación diagonales implican la independencia de las variables aleatorias, tercero es la serie geométrica.

Empieza con:

$$\mathbb{E}(\phi(k)) = \sqrt{1-\rho^2}\sum_{j=1}^{k-1}\mathbb{E}(\rho^{k-j-1}e(j)) $$

y observe que el $\rho$ es constante con respecto a la expectativa, de modo que cada término del sumando se multiplica por $0$ . Por lo tanto, $\mathbb{E}(\phi(k)) = 0$ .

A continuación, mira el segundo momento:

$$\mathbb{E}(\phi(k)^2) = (1-\rho^2)\mathbb{E}\left(\left(\sum_{j=1}^{k-1}\rho^{k-j-1}e(j)\right)^2\right) $$ que, expandiendo los cuadrados, se simplifica a:

$$\mathbb{E}(\phi(k)^2) = (1-\rho^2)\mathbb{E}\left(\sum_{j=1}^{k-1}\rho^{2(k-j-1)}e(j)^2 + \sum_{j=1, j\neq i}^{k-1}\sum_{i=1}^{k-1} \rho^{2k-i-j-2} e(i)e(j)\right) $$

Ahora poniendo el operador de expectativa a través de los dos términos del cuadrado muestra que el segundo término de la suma es $0$ porque todos los términos de la suma doble se multiplican por a $0$ término. El primer término de la suma tiene:

$$\mathbb{E}(e(i)^2) = \sigma^2 $$

Para que la fórmula se simplifique:

$$ (1-\rho^2)\mathbb{E}\left(\sum_{j=1}^{k-1}\rho^{2(k-j-1)}e(j)^2\right) = (1-\rho^2)\left(\sum_{j=1}^{k-1}\rho^{2(k-j-1)}\sigma^2 \right)$$

A continuación, el factor común $\sigma^2$ término e identificar la suma como (parte de) una serie geométrica (falta el $j=0$ plazo. Utilizando la fórmula

$$\sum_{j=0}^{k-1} (\rho^2)^j = \frac{1-\rho^{2k}}{1-\rho^2}$$

simplificamos a

$$ (1 - \rho^2) \sigma^2 \left( \sum_{j=1}^{k-1}\rho^{2(k-j-1)} \right) = (1-\rho^2)\sigma^2 \rho^{2(k-1)} \left( \frac{1-\rho^{2k}}{1-\rho^2} - 1 \right). $$

Este último término de la derecha es el que probablemente utilizarás (o alguna variación). Por ejemplo, podría convertir el $-1$ término en un denominador común y factorizar un $\rho^2$ si quieres también pero este enfoque general.

Además, aquí estamos asumiendo $k \geq 1$ .