Encuentre todos $n$ tal que $\sigma(n)=12$

Question

Dejemos que $ \sigma (n) = \sum_{k|n}^{}{k} $ . Necesito resolver $\sigma(n)=12$ . Probablemente lo siguiente podría ser de utilidad: si $n={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s}$ entonces $\sigma(n)=\frac{{p_1}^{a_1+1}-1}{p_1-1}\frac{{p_2}^{a_2+1}-1}{p_2-1}...\frac{{p_s}^{a_s+1}-1}{p_s-1}$ .

Answer 1

Si RHS $=12,$ como $1+p+p^2=7$ o $\ge 1+3+3^3=13,n$ debe ser sin plaza

Así que, $\sigma(n)=\prod(1+p_i)$ donde $p_i$ s son divisores primos distintos $(\ge2)$ de $n$

También, $\sigma(n)\ge 1+n \ \ \ \ (1)$

La igualdad se produce si $n$ es primo, es decir, aquí $n+1=12\implies n=11$ que es primo.

$(1)\implies n\le 11$

Así, otros valores de $n$ debe ser no-prima y libre de cuadrados

Como $2\le n\le 11,$ los valores pueden ser $6,10$

$\sigma(6)=\sigma(2\cdot3)=(1+2)(1+3)=12$

$\sigma(10)=\sigma(2\cdot5)=(1+2)(1+5)=18$

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Alternativamente,

Como $n$ es libre de cuadrados, los valores de $1+p_i$ s son $3,4,6,12$ como $\ge2$

Si $1+p_1=3,1+p_2=4\implies n=p_1\cdot p_2=2\cdot 3=6$

Si $1+p_1=6,1+p_2=2\implies p_2=1<2$ por lo que este caso no se plantea

Si $1+p_1=12, n=p_1=11$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \sigma (1) &= 1\\ \sigma (2) &= 1+2 = 3\\ \sigma (3) &= 1+3 = 4\\ \sigma (4) &= 1+2+4 = 7\\ \sigma (5) &= 1+5 = 6\\ \sigma (6) &= 1+2+3+6 = 12\\ \sigma (7) &= 1+7 = 8\\ \sigma (8) &= 1+2+4+8 = 15\\ \sigma (9) &= 1+3+9 = 13\\ \sigma (10) &= 1+2+5+10 = 18\\ \sigma (11) &= 12 \end{align} $$ por lo que las únicas soluciones son $n = 6$ y $n = 11$ .