Mostrando que esta función y su gradiente están acotados.

Question

Dejemos que $x \in \mathbb{R}^2$ y $t \in \mathbb{R}$ . Dejemos que $v(x) \in C_c^\infty(\mathbb{R}^2)$ . Por último, dejemos que

$$u(x,t) = \frac{t}{2\pi} \int_{|y| \leq 1} \frac{v(x+ty)}{\sqrt{1-|y|^2}}dy$$

Quiero demostrar que para $2|x| \leq 1 +t$

$|u(x,t)| \leq \frac{C}{1+t}$

$|\nabla u(x,t)| \leq \frac{C}{1+t}$

No estoy seguro de la relevancia de esto, pero se puede demostrar que $$u(x,t) = \frac{t}{2\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^{1} v(x_1 + tr\cos \theta,x_2 + tr \sin \theta) \frac{r dr}{\sqrt{1-r^2}} d\theta$$ Tal vez esto sea más fácil de trabajar o tal vez no. ¿Alguna idea?

Answer 1

Tengo una solución para $|u(x,t)| \leq \frac {C}{1+t}$ pero he omitido muchos de los detalles (sería demasiado largo de escribir). Hacer la sustitución $z = x + ty$ en la integral ayuda. A partir de ahí, hay que mirar $t$ suficientemente grande como para que sólo nos preocupe el conjunto donde $v\neq 0$ . A continuación se presenta un esquema de la solución:

Primero haz el cambio de variables $z=x+ty$ en la integral (para un $x$ y $t$ ). Entonces deberíamos tener $$u(x,t) = \frac 1 {2\pi}\int_{B_t(x)} \frac{v(z)}{\sqrt{t^2 - |z-x|^2}} \, dz$$ donde $B_t(x)$ es la bola de radio $t$ alrededor del punto $x$ . Desde $v\in C_c^\infty$ Hay una pelota $B_R(x_0)$ donde $v=0$ fuera de esta bola. Deberías ser capaz de demostrar que hay una $t_0$ donde para $t\geq t_0$ y $|x| \leq \frac{1+t} 2$ , $B_R(x_0) \subseteq B_t(x)$ . Entonces para $x$ y $t$ que satisface estas condiciones, sólo tenemos que evaluar la integral en $B_R(x_0)$ . También es posible demostrar que $|z-x| \leq (t_0 +t)/2$ para $x$ y $t$ cumpliendo las condiciones anteriores y $z\in B_R(x_0)$ . Por lo tanto, para que haya suficiente $x$ y $t$ tenemos que $$|u(x,t)| \leq \frac{\max |v|}{2\pi} \int_{B_R(x_0)} \frac{1}{\sqrt{t^2 - (t + t_0)^2/4}}dz = \frac{\max |v| \cdot R^2}{2}\times\frac{1}{\sqrt{t^2 - (t + t_0)^2/4}}.$$ Este término es $O\left(\frac{1}{1+t}\right)$ . Para $t<t_0$ podemos ver que $|u(x,t)|$ está acotada uniformemente.