Prueba $5^n + 2 \cdot 3^n - 3$ es divisible por 8 $\forall n\in \mathbb{N}$ (utilizando la inducción)

Question

Prueba $5^n + 2 \cdot 3^n - 3$ es divisible por 8 $\forall n\in \mathbb{N}$

Caso base $n = 1\to 5 + 6 - 3 = 8 \to 8 \mid 8 $

Supongamos que para algunos $n \in \mathbb{N}\to 8 \mid 5^n + 2 \cdot 3^n - 3$

Mostrar $8 \mid 5^{n+1} + 2 \cdot 3^{n+1} - 3$

$$5^{n+1} + 2 \cdot 3^{n+1} - 3$$ $$5\cdot 5^n + 2\cdot 3\cdot 3^n - 3$$ $$ (5^n + 2\cdot 3^n - 3) + 4\cdot 5^n + 2\cdot 2\cdot3^n $$ $$ 5\cdot(5^n + 2\cdot 3^n - 3) + 4\cdot 5^n + 2\cdot 2\cdot3^n - 4\cdot(5^n + 2\cdot 3^n - 3)$$

$$ [5\cdot(5^n + 2\cdot 3^n - 3)] - [4\cdot 3^n - 12]$$

El primer término divide por 8 pero no estoy seguro de cómo conseguir que el segundo término divida por 8.

Answer 1

Si $f(m)=5^m+2\cdot3^m-3,$

Que el uso elimine cualquiera de $5^n$ o $3^n$

Método $\#1:$

$$f(n+1)-5f(n)=3^n(6-10)-(3-3\cdot5)=4(3-3^n)$$

Ahora como $3^n$ es impar, para los enteros $n\ge0,3-3^n$ es incluso

$\implies f(n+1)-5f(n)$ es divisible por $8$

$\implies8|f(n+1)\iff8|f(n)$ como $8\nmid5$

Establezca ahora el caso base $f(0)$

Método $\#2:$

$$f(n+1)-3f(n)=?$$