Prueba $5^n + 2 \cdot 3^n - 3$ es divisible por 8 $\forall n\in \mathbb{N}$ (utilizando la inducción)

Question

Prueba $5^n + 2 \cdot 3^n - 3$ es divisible por 8 $\forall n\in \mathbb{N}$

Caso base $n = 1\to 5 + 6 - 3 = 8 \to 8 \mid 8 $

Supongamos que para algunos $n \in \mathbb{N}\to 8 \mid 5^n + 2 \cdot 3^n - 3$

Mostrar $8 \mid 5^{n+1} + 2 \cdot 3^{n+1} - 3$

$$5^{n+1} + 2 \cdot 3^{n+1} - 3$$ $$5\cdot 5^n + 2\cdot 3\cdot 3^n - 3$$ $$ (5^n + 2\cdot 3^n - 3) + 4\cdot 5^n + 2\cdot 2\cdot3^n $$ $$ 5\cdot(5^n + 2\cdot 3^n - 3) + 4\cdot 5^n + 2\cdot 2\cdot3^n - 4\cdot(5^n + 2\cdot 3^n - 3)$$

$$ [5\cdot(5^n + 2\cdot 3^n - 3)] - [4\cdot 3^n - 12]$$

El primer término divide por 8 pero no estoy seguro de cómo conseguir que el segundo término divida por 8.

Answer 1

Como $3^n$ es un número impar, $4\cdot 3^n\equiv 4~(mod~8)$ También $12\equiv 4~(mod~8)$ .

Answer 2

$$4 \cdot 5^n+4 \cdot 3^n$$ es claramente divisible por 8 porque una vez que quitas el 4 es la suma de dos números Impares.

Answer 3

Es $4\cdot 3^n-12=4(3^n-3)$ ya que $3^n-3$ es incluso $2\mid 3^n-3$ . Por lo tanto, $8\mid 4\cdot 3^n-12$ .

Para que quede claro: $3^n-3$ es par, ya que para $n\geq 1$ es $3^n$ impar, y

"impar-impar=even" Desde $(2k+1)-(2l+1)=2k-2l=2(k-l)$ que está en paz.

Answer 4

Si $f(m)=5^m+2\cdot3^m-3,$

$$f(n+2)-f(n)=5^n(5^2-1)+2(3^2-1)3^n$$ que es claramente divisible por $8$

$\implies8|f(n+2)\iff8|f(n)$

Ahora establezca los casos base $f(0),f(1)$

Answer 5

Una pista: Intenta reducir tu expresión mod 8. Por ejemplo, ¿qué es $5^n$ ¿Mod 8? Ya que $5 \equiv 5$ y $5^2 = 25 \equiv 1$ ,

$5^n \equiv \begin{cases} 5, n \text{ odd} \\ 1, n \text{ even} \end{cases}$ .

Ahora haz lo mismo con $3^n$ y añadir.

(Esta solución no utiliza la inducción).