Radicales y espacios eigéneos generalizados

Question

Actualmente estoy revisando la forma normal de Jordan.

Digamos que tenemos $T,$ un operador lineal, en un espacio vectorial de dimensión finita $V.$ Así que si consideramos un vector propio $v$ con valor propio $\lambda,$ entonces nuestro eigespacio viene dado por el espacio nulo de $(T - \lambda).$ Y el vector propio generalizado es un vector $x$ tal que $(T - \lambda)^d \cdot x = 0.$

Aunque nuestro espacio vectorial es realmente un grupo disfrazado, no pude evitar notar cierta similitud entre esto y el radical de un ideal $I$ de algún anillo $R.$ Donde definimos que es el radical: $$\sqrt{I} = \{a \in R \mid \exists n \in \mathbb{N}: a^n \in I\}.$$

Y solemos hablar del radical de algún ideal de polinomios. Sin embargo, en el caso del eigespacio, éste actúa como conjunto de fuga para el operador $(T - \lambda).$ Así que no estoy seguro de que estén realmente relacionados, pero si alguien pudiera darme más información, estaría muy agradecido.

Answer 1

Cuando tiene un operador $T$ en su $k$ -espacio vectorial $V$ Es lo mismo que tener un $k[X]$ -estructura de módulo en $V$ , donde $X$ actúa como $T$ (¿puede ver por qué?)

Entonces, para un determinado $x$ , usted tiene el ideal $Anh(x)=\{P\in k[X]\mid P\cdot x = 0\}$ (sin la notación de módulo, esto es $\{P\in k[X]\mid P(T)(x) = 0\}$ pero es lo mismo).

Ahora $x$ es un vector propio de $T$ con valor propio $\lambda$ si y sólo si $X-\lambda \in Anh(x)$ . De la misma manera, $x$ es un vector propio generalizado si y sólo si $(X-\lambda)^d\in Anh(x)$ . Ahora la conexión es que si tomas $\sqrt{Anh(x)}$ entonces se obtiene que $X-\lambda \in\sqrt{Anh(x)}$ si $x$ es un vector propio generalizado o no de $T$ con valor propio $\lambda$ .

Por lo tanto, existe una conexión entre las dos nociones. De forma más general, si se observa un anillo conmutativo $R$ y un $R$ -Módulo $M$ y $x\in M$ entonces puede interesarle $Anh(x)$ y $\sqrt{Anh(x)}$ .