Una buena estrategia para encontrar una descomposición de Schur para una matriz de rango 1.

Question

Dejemos que $u= \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}$ y $v= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$

$E=uv^T= \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\ -2 & -1 &1 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix} $

¿Cuál sería una buena estrategia para encontrar una descomposición de Schur aquí? Sé que $u$ tiene un valor propio $v^Tu=-1$ y el complemento ortogonal de $u$ debe tener un valor propio $0$ . He tratado de hacer algo de gram smith pero me sale todo muy feo, y creo que se supone que algo más inteligente. ¿Alguna idea?

Answer 1

Dejemos que $e_1=(1,0,0)^T$ . Si $Q$ es una matriz ortogonal real $Q$ que tiene $u/\|u\|$ como su primera columna (es decir $Qe_1=u$ ), entonces $Q^TEQ=(Q^Tu)(v^TQ)=e_1(v^TQ)$ es triangular superior (su primera fila es $v^TQ$ y las otras dos filas son cero). Para construir $Q$ puede utilizar un Matriz de propietarios : $$ Q = I-\frac{2ww^T}{\|w\|^2},\ w=u-\|u\|e_1. $$