Encuentra el menor número entero positivo $m$ y $n$ para lo cual $13<2^\frac{m}{n}<14$

Question

P: Encuentra los enteros positivos más pequeños $m$ y $n$ para lo cual $13<2^\frac{m}{n}<14$

Ni idea de por dónde empezar

Pregunta del libro de Cambridge del año 11

Answer 1

Está garantizado que habrá una respuesta bastante pequeña porque $\frac{14}{13} > 1$ y hay algún límite $K$ tal que $$ k \geq K \Longrightarrow \left( \frac{14}{13} \right)^k > 2. $$

En efecto, $$ \left( \frac{14}{13} \right)^9 \approx 1.948, $$ $$ \left( \frac{14}{13} \right)^{10} \approx 2.098, $$ por lo que teníamos garantizado poder tomar $$ n \leq 10. $$ Volviendo a los enteros, $$ 13^{10} = 137858491849 $$ $$ 2 \cdot 13^{10} = 275716983698 $$ $$ 14^{10} = 289254654976, $$ y esto confirma que $14^{10} > 2 \cdot 13^{10}.$ Definitivamente hay al menos una potencia de dos en el medio $13^{10}$ y $14^{10}.$ Esperamos que algún exponente menor que $10$ funcionaría, aunque no hemos probado una garantía para ello; sólo hay que comprobarlo, a ver qué pasa.

Como su libro evidentemente le muestra, tan pronto como llegue a $$ 13^4 = 28561 \; \; \mbox{and} \; \; 14^4 = 38416 $$ hay un poder de $2$ en el medio, es decir $$ 32768 = 2^{15} $$

Answer 2

Tomando los registros a lo largo de usted consigue ... $$\begin{eqnarray*} \frac{\log(13)}{\log (2)} &< \frac mn &<\frac{\log(14)}{\log (2)} \\ 3.700 &< \frac mn &<3.808 \end{eqnarray*}$$

A partir de ahí, apostaría por que la fracción más baja está en $3.75 = \frac{15}{4}$

Answer 3

Para cada n, existe un m mínimo tal que $2^{m/n}>13$ . Prueba con n = 1, 2, 3, ..., encontrando el menor m para cada n, hasta que encuentres uno en el que $2^{m/n}<14$ .

Resulta que $2^{{15}/4}$ ≈ 13,4543; la solución es m = 15, n = 4.