Resolver $\sin5x \cos3x = \sin6x \cos2x$ dos maneras da soluciones diferentes. ¿Qué enfoque es el correcto?

Question

La pregunta es:

$$\sin5x \cos3x = \sin6x \cos2x$$

Tenía dos enfoques:

1. $$\sin5x \cos3x = \sin6x \cos2x \\ 2\sin5x \cos3x = 2\sin6x \cos2x \\ \sin8x+\sin2x=\sin8x+\sin4x \\ \sin2x=\sin4x \\ \sin4x-\sin2x=0 \\ 2\sin x\cos3x=0 \\ \implies \sin x=0 \\ x=n\pi \implies \cos3x=0 \\ 3x={(2n+1)\pi}/2 \\ x={(2n+1)\pi}/6$$

Estas fueron las soluciones en el primer enfoque.

2. $$\sin5x \cos3x = \sin6x \cos2x \\ 2\sin5x \cos3x=2\sin6x\cos2x \\ \sin8x+\sin2x=\sin8x+\sin4x \\ \sin2x=\sin4x\\ \sin4x-\sin2x=0 \\ 2\sin2x.\cos2x-\sin2x=0 \\ \sin2x(2\cos2x-1)=0 \\ \implies \sin2x=0 \\ x=n(π/2)\\ \implies 2\cos2x-1=0 \\ \cos2x=1/2 \\ 2x=2n\pi\pm(\pi/3) \\ x=n\pi\pm(\pi/6)$$

Estas fueron mis soluciones en el segundo enfoque. Este fue también el enfoque dado en el libro de texto para esta pregunta.

Mi pregunta es:

¿Por qué no coinciden estas soluciones en los dos casos? ¿He cometido algún error en el primer planteamiento?

Answer 1

Las dos soluciones son equivalentes: ambas incluyen todos los números que son congruentes con $0$ , $\pi/6$ , $\pi/2$ o $5\pi/6$ mod $\pi$ . Sólo que en tu primera solución has dividido en el primer caso y una combinación de todos los demás, mientras que tu otra solución agrupa los casos alternativos.

Answer 2

Sus soluciones son equivalentes, de hecho para $x\in [0,2\pi)$

• $x=n\pi \land x={(2n+1)\pi}/6 \implies x\in\{0,\frac \pi 6,\frac \pi 2,\frac 2 3 \pi,\pi,\frac 4 3 \pi,\frac 32\pi,\frac {11}6\pi\}$

• $x=n\frac \pi 2 \land x=n\pi\pm(\pi/6) \implies x\in\{0,\frac \pi 6,\frac \pi 2,\frac 2 3 \pi,\pi,\frac 4 3 \pi,\frac 32\pi,\frac {11}6\pi\}$

Como alternativa por producto para sumar identidades tenemos que

$$\sin(5x)\cos(3x)=\frac12\sin(8x)+\frac12\sin(2x)$$

$$\sin(6x)\cos(2x)=\frac12\sin(8x)+\frac12\sin(4x)$$

entonces

$$\sin(5x)\cos(3x)=\sin(6x)\cos(2x) \iff \sin(2x)=\sin(4x)$$

y usar eso

$$\sin A=\sin B \iff A=B+2k\pi \lor A=\pi - B+2k\pi$$

es decir

$$x=k\pi \lor x=\frac \pi 6+k\frac \pi 3$$

que son equivalentes a sus dos soluciones.

Answer 3

Dejemos que $z=e^{i\theta}$ .

$$(z^5-z^{-5})(z^3+z^{-3})=(z^6-z^{-6})(z^2+z^{-2})$$

se expande como

$$z^2-z^{-2}=z^4-z^{-4}$$ o $$\sin2\theta=\sin 4\theta=2\sin2\theta\cos2\theta.$$

De ahí que se tengan las raíces de $\sin2\theta$ , $\dfrac{k\pi}2$ y las soluciones de $\cos2\theta=\dfrac12$ , $\pm\dfrac\pi6+k\pi$ .

En términos de múltiplos de $\dfrac\pi6$ ,

$$0,3,5,6,7,9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,25,\cdots$$

Answer 4

Caso $\#1:$ $$\dfrac{m\pi}2=\dfrac{(2n+1)\pi}6$$ $$\iff2n+1=3m\iff2(n-1)=3(m+1)\iff3|(n-1)\iff n\equiv1\pmod3$$

Caso $\#2:$ $$\dfrac{(2n+1)\pi}6=m\pi\pm\dfrac\pi6=\dfrac{\pi(6m\pm1)}6\iff2n+1=6m\pm1$$

Para $'+',$ $$2n+1=6m+1\iff n=3m, n\equiv0\pmod3$$ Para $'-',$ $$2n+1=6m-1\iff n=3m-1, n\equiv-1\pmod3$$

Así, los tres valores posibles de $n$ están cubiertos.