Encontrar el límite $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(100n)!}{(99n)!(100n)^n}$

Question

Encontrar el límite $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(100n)!}{(99n)!(100n)^n}$$

Cómo demostrar que este límite es $0$ ? He tratado de encontrar su estimación superior que tiende a cero, pero no encontré algo mejor que con límite $1$ .

Answer 1

Dejemos que $a_n=\frac{(100n)!}{(99n)!(100n)^n}$ y evaluar el límite de la relación $$\begin{align}\frac{a_{n+1}}{a_n}&=\frac{(100(n+1))!}{(99(n+1))!(100(n+1))^{n+1}}\cdot \frac{(99n)!(100n)^n}{(100n)!}\\ &=\frac{(100n+99)\cdots (100n+1)}{(99n+99)\cdots (99n+1)(1+\frac{1}{n})^n}\to \frac{(1+\frac{1}{99})^{99}}{e}<1.\end{align}$$ A continuación, aplique la prueba de la proporción para las secuencias (véase Intento de prueba a la prueba de la proporción para las secuencias ).

Answer 2

Tenga en cuenta que:

$$ \frac{100n!}{99n!(100n)^n} = \frac{(99n+1)(99n+2)\ldots (99n+n-1)(100n)}{(100n)^n} = \prod_{k=1}^{n} \frac{99n+k}{100n} \leq \Big(\frac{99n+n/2}{100n}\Big)^{n/2} $$ donde la desigualdad al final proviene de usar 1 como estimación superior para el último $n/2$ términos y $\Big(\frac{99n+n/2}{100n}\Big)$ como una estimación superior para el primer $n/2$ condiciones. Al anular el $n$ dentro de esto es sólo igual a $(99.5/100)^{n/2}$ que claramente llega a 0.

Lo que me gusta de este enfoque es que no depende de conocer/probar otros resultados sobre límites famosos.

Answer 3

Se puede utilizar la aproximación de Stirling para $ x \to \infty$ :

$$x!\approx \sqrt{2\pi}\frac{x^{x+\frac{1}{2}}}{e^x}$$

Así que el límite se convierte en:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2\pi}\frac{(100x)^{100x+\frac{1}{2}}}{e^x}}{\sqrt{2\pi}\frac{(99x)^{100x+\frac{1}{2}}}{e^x}(100x)^x}=\lim_{x \to \infty} \frac{(100x)^{100x+\frac{1}{2}}}{(99x)^{100x+\frac{1}{2}}(100x)^x}=\lim_{x \to \infty} \frac{(100x)^{99x+\frac{1}{2}}}{(99x)^{100x+\frac{1}{2}}}= $$ $$=\frac{10}{\sqrt{99}}\lim_{x \to \infty} \frac{(100x)^{99x}}{(99x)^{100x}}=\frac{10}{\sqrt{99}}\lim_{x \to \infty} \frac{(\frac{100}{99})^{99x}}{(99x)^x} $$

Para la jerarquía de los infinitos $ x^x>>a^x $ :

$$\frac{10}{\sqrt{99}}\lim_{x \to \infty} \frac{(\frac{100}{99})^{99x}}{(99x)^x}=0 $$