Cómo ampliar el dominio de la $\log$ función de $\Bbb Z$ a $\Bbb Q$ ?

Question

Que la función $f(N)=\log N$ mientras que $N \in \Bbb N$

Se puede ampliar el dominio de $\Bbb N$ a $\Bbb Z$ mediante un enfoque matemático claro

$$f(N) = \left\{ \begin{array}{l l} \log N & \quad \text{if $N>0 \qquad; N \in \Bbb Z$}\\ \log N + \Bbb i\pi & \quad \text{if $N<0$} \end{array} \right.$$

Pregunta: Dejemos que $f(Q)$ y $Q\in \Bbb Q$ ¿Cómo puedo ampliar el dominio de los números enteros? $\Bbb Z$ a los racionales $\Bbb Q$ mediante un enfoque matemáticamente claro?

Answer 1

Modifiquemos la función del OP:

$$f(n) = \left\{ \begin{array}{l l} \log n & \quad \text{if $n>0 \qquad; n \in \Bbb Z$}\\ \log |n| + \Bbb i\pi & \quad \text{if $n<0$} \end{array} \right.$$

Te sugiero que mires

$$g(\frac{p}{q}) = f(p) - f(q)$$

Ahora tienes que demostrar que $g(\frac{a}{1})=f(a)$ y que siempre que $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ entonces $g(\frac{a}{b})=g(\frac{c}{d})$ .