Función holomorfa.

Question

Dejemos que $f$ sea una función holomrfica en $\mathbb C$ . ¿Las funciones $\sup_{|z| = r} |f(z)|$ continua en función de $r$ ?

Creo que sí, pero no estoy seguro.

(He editado la pregunta, añadiendo el módulo de la función)

Answer 1

En primer lugar, supongo que te refieres a $\sup_{|z|=r} |f(z)|$ porque si su función tiene valores complejos, no hay $\sup$ definido a menos que se tome el valor absoluto.

Por el principio de máxima, si $f$ es holomorfo, entonces se cumple el principio de máximo, y $f$ es o bien constante, o bien la suma de los valores de la función $f$ en un disco se alcanza en el límite. Por lo tanto, $\sup_{|z|=r} |f(z)|=\sup_{|z|\leq r} |f(z)|$ y esta última función es continua.

---

Denote $M(r)=\sup_{|z|\leq r}|f(z)|$ y porque $f$ también es continua tenemos $M(r)=f(z_r)$ con $|z_r|=r$ . Toma ahora $r \to R$ . Entonces $(z_r)$ contiene una subsecuencia convergente, denotada para simplificar con $(z_r)$ y $z_r \to z_0$ . Si $|f(z_0)|$ no es el máximo para $|f(z)|$ en $|z|=R$ entonces existe $z_1$ con $|z_1|=R$ y $|f(z_1)|>|f(z_0)|$ . Debido a la continuidad de $f$ podemos encontrar una vecindad de $z_1$ en el que $|f(z)| \geq |f(z_0)|+\varepsilon$ . Como esta vecindad interseca círculos de radio cercano a $R$ podemos contradecir el hecho de que $|f(z_r)|$ es el máximo en $|z|=r$ para $r$ cerca de $R$ .

Creo que ni siquiera necesitamos el hecho de que $f$ es holomorfo. $f$ continua es suficiente.